158 线性代数重点难点30讲 (3)如果?是非齐次线性方程Ax=b的一个解,而n是其导出组Ax=0的一个解则 +n是方程组Ax=b的解 (4)如果1,72是非齐次线性方程组Ax=b的两个解,则1-y2是其导出组Ax= 0的解 六、线性方程组解的结构 1.齐次线性方程组解的结构 设n,n2,…,n为齐次线性方程组Ax=0的一组线性无关解如果方程组Ax=0 意一个解均可表为n1,2,…,n的线性组合则称n,n,…,n为方程组Ax=0的一个 础解系 设A为m×n矩阵,若秩(A)=r<n,则齐次线性方程组Ax=0存在基础解系 基础解系包含n-r个线性无关的解向量,这时方程组的通解可表示为 其中k1,k2,…,k。,为任意常数,n1,n2,…,,为齐次方程组的一个基础解系 2.非齐次线性方程组解的结构 非齐次线性方程组Ax=b的任意一个解均可表示为方程组Ax=b的一个特解与其与 出组Ax=0的某个解之和 当非齐次线性方程组有无穷多解时,它的通解可表为 x=n。+k1n1+k2男2+…+k.,可 其中n为Ax=b的一个特解,k1,k2…,k,为任意常数,n1,n,…,n,为其导 组Ax=0的一个基础解系 建议读者:在解下列典型例题之前,最好能熟记住上述六个基本知识点,因为下面的 题是为考查读者对上述所列基本概念的理解程度及解方程组的能力面精选的 七、例题选讲 例1(2002年全国考研数学试题)已知4阶方阵A=(a1,2,a3,a4),a1,a2,ax3,Cm 均为4维列向量,其中a2,3,4线性无关,a1=2a2-a3,如果B=a1+ax2+a3+a 求线性方程组Ax=B的通解 解由于秩(A)=r=3,则齐次线性方程组Ax=0的基础解系包含n-r=4-3 1个线性无关的解向量n,从而非齐次线性方程组的通解的一般形式为x=n+k1n 中n是Ax=B的一个特解,k1为任意常数 把a1=2a2-a3代人Ax=B,即Ax=ax1+a21+a3+a4,得 ax1,(x2,(3,(4) =3a2+a4