笫27讲线性方程组概念题选讲 aIn b11 矩阵 A=[A: b 称为方程组(*)的增广矩阵 anx1+anx2+…+ aInt=0 a21x1+a2x2+…+a2xn=0 方程组 () 0 称为n个未知元m个方程的齐次线性方程组,它是非齐次线性方程组(*)的导出组,其矩 阵形式为 Ax=0, 向量形式为 r1a1+x2a2+…+x2an=0 线性方程组解的判定 1.齐次线性方程组Ax=0 定有解(至少有零解),且秩(A)=n时,有唯一零解;秩(A)=r<n时,有非零解 且有n-r个线性无关的解向量 2.非齐次线性方程组Ax=b 若秩(A)≠秩(A)=秩[Ab],无解 =n,有唯一解; 秩(A)=秩(A)=秩[Ab] <n,有无穷多解 注意设A为m×n矩阵,若R(A)=m,则R(A)=R(Ab),从面Ax=b一定 有解(参看第25讲例10) 四、非齐次组Ax=b与齐次组Ax=0解的关系 Ax=b有解台秩(A)=秩A={A=b有唯一解 <n台Ax=b有无穷多解 Ax=b有唯一解→Ax=0只有零解与秩(A)=n Ax=b有无穷多解→Ax=0有非零解台秩(A)</x=0 注意非齐次组Ax=b有无穷多解(唯一解),则Ax=0有非零解(仅有零解).但反过 来不成立,即Ax=0有非零解(仅有零解),不能推导出Ax=b有无穷多解,甚至Ax=b 可能无解.因为由秩(A)<n(=n),不一定能得到秩(A)=秩(A) 五、线性方程组解的性质 (1)如果n1,2是齐次线性方程组Ax=0的解,则n1+马2也是它的解 (2)如果η是齐次线性方程组Ax=0的解,则对任意常数k,k也是它的解