代替了含糊的“最初比”与“最终比”.他定义量Y的极限为X,如果“量Y可 以任意逼近X,这就是说，Y与X之间的差可任意小。” 1755年欧拉在他的微分学中提出了无限小的不同阶零的理论.他认为，无限 小就是零，但存在着“不同阶的零”，也就是不同阶的无限小，而“无限小演算 只不过是不同无限小量的几何比的研究。” 1816年，捷克哲学家和数学家波尔查诺(Bolzano.1781-1848)在二项展 开公式证明中，明确提出了级数收敛的概念。1817年，在《纯粹分析的证明》 一书中他又对连续函数、导数等概念给出了恰当的定义。他说：若在区间内任一 x处，只要o(的绝对值)充分小，就能使差f(x+⊙)-f(x)(的绝对值)任意 小，那么就说f(x)在该区间上连续。 ●法国数学家柯西(Cauchy,1789-1851)是分析学的奠基人， 他在1821-1823年期间出版的《分析教程》和《无限小计算教程概论》中， 对微积分的基本概念（变量、函数、极限、连续性、导数、微分、定积分和无穷 级数的收敛性等)给出了明确定义，并在此基础上重建和拓展了微积分的重要事 实和定理。例如： 极限当一个变量逐次所取的值无限趋近一个定值，最终使变量的值与该定 值之差要多小就多小，那么最后这个定值就称为所有其他值的极限。 无限小量当同一个变量逐次所取的绝对值无限减小，以至比任意给定的数 还要小，这个变量就是所谓的无限小或无限小量。 级数的收敛性若无穷级数 40+41+42+…+4n+… 的前n项之和sn=山，+山+山，+…+wn,当n趋向无穷大时无限趋近于某一常数s 时，就说该级数是收敛的。 柯西的工作向分析的全面严格化迈出了关键的一步，他将微积分的重要概念 (导数、积分、级数等)都定义为某种极限过程，为微积分奠定了基础。 ●极限概念和理论的严格化应归功于被誉为“现代分析之父”的德国数学 家魏尔斯特拉斯(Weierstrass,1815-1897) 魏尔斯特拉斯关于分析的严格化贡献突出地表现在他创造了一套ε-N与 ε-δ语言来建立极限的概念，并用以重建分析体系。他批评柯西等人采用“无 限趋近”，“要多小就多小”等直观描述性的语言，使分析从完全依赖运动几何概 念和直觉理解中解放出来，并建立了实数理论，使分析建立在实数的基础上，从 而消除了数学发展史上第一、二次数学危机。 问题2怎样正确地理解极限的ε-N与ε-6定义 柯西给出的极限定义看起来似乎已经很清楚了，为什么还要用魏尔斯特拉斯4 代替了含糊的“最初比”与“最终比”. 他定义量 Y 的极限为 X ，如果“量 Y 可 以任意逼近 X ，这就是说， Y 与 X 之间的差可任意小。” 1755 年欧拉在他的微分学中提出了无限小的不同阶零的理论. 他认为，无限 小就是零，但存在着“不同阶的零”，也就是不同阶的无限小，而“无限小演算 只不过是不同无限小量的几何比的研究。” 1816 年，捷克哲学家和数学家波尔查诺（Bolzano. 1781-1848）在二项展 开公式证明中，明确提出了级数收敛的概念。1817 年，在《纯粹分析的证明》 一书中他又对连续函数、导数等概念给出了恰当的定义。他说：若在区间内任一 x 处，只要  （的绝对值）充分小，就能使差 f (x +) − f (x) （的绝对值）任意 小，那么就说 f (x) 在该区间上连续。 ⚫ 法国数学家柯西（Cauchy, 1789-1851）是分析学的奠基人. 他在 1821-1823 年期间出版的《分析教程》和《无限小计算教程概论》中， 对微积分的基本概念（变量、函数、极限、连续性、导数、微分、定积分和无穷 级数的收敛性等）给出了明确定义，并在此基础上重建和拓展了微积分的重要事 实和定理。 例如： 极限 当一个变量逐次所取的值无限趋近一个定值，最终使变量的值与该定 值之差要多小就多小，那么最后这个定值就称为所有其他值的极限。 无限小量 当同一个变量逐次所取的绝对值无限减小，以至比任意给定的数 还要小，这个变量就是所谓的无限小或无限小量。 级数的收敛性 若无穷级数 u0 + u1 + u2 ++ un + 的前 n 项之和 n = u0 + u1 + u2 + + un−1 s  当 n 趋向无穷大时无限趋近于某一常数 s 时，就说该级数是收敛的。 柯西的工作向分析的全面严格化迈出了关键的一步，他将微积分的重要概念 （导数、积分、级数等）都定义为某种极限过程，为微积分奠定了基础。 ⚫ 极限概念和理论的严格化应归功于被誉为“现代分析之父”的德国数学 家魏尔斯特拉斯（Weierstrass, 1815-1897） 魏尔斯特拉斯关于分析的严格化贡献突出地表现在他创造了一套  −N 与  − 语言来建立极限的概念，并用以重建分析体系。他批评柯西等人采用“无 限趋近”，“要多小就多小”等直观描述性的语言，使分析从完全依赖运动几何概 念和直觉理解中解放出来，并建立了实数理论，使分析建立在实数的基础上，从 而消除了数学发展史上第一、二次数学危机。 问题 2 怎样正确地理解极限的  − N 与  − 定义 柯西给出的极限定义看起来似乎已经很清楚了，为什么还要用魏尔斯特拉斯