的ε-N与ε-δ语言来刻画极限呢？这是很多初学者容易提出的问题。 (1)柯西极限定义的科学内涵与缺陷 )柯西极限定义的科学内涵一一极限概念在本质上是刻画在一个无限变化 过程中变量的最终变化趋势的。按照该定义， lman=A=当n无限增大时，数列an无限趋近一个定值A,最终使an的值 与A之差要多小就多小。 limf(x)=A=当x无限趋近于x,时，函数f(x)无限趋近一个定值A,最 终使f(x)的值与A之差要多小就多小。 2)柯西极限定义的缺陷一一该定义是“描述性的”、“直观的”，没有对其 中的“两个无限”作进一步量的刻画，因此用该定义难以判定比较复杂极限的存 在性，难以计算极限的值，更难以进行逻辑推理。 基于直观的判断实际上是一种“有限归纳”，很难用以判断无限变化的过程」 例1判定数列a。=(1+)”有无极限， 极限是多少？ 2 3 4 5 6 10 20 2 2.25 2.37038 2.44141 2.48832 2.52159 2.59374 2.65329 n 由表中数字易见，a,似乎随n单调增大，但难以断定它是否有极限？极限值 是什么？ 例 2判断数列a.=京+1000 的极限值是什么？ n 1 2 10 20 100 1.000028 0.124920 0.001088 0.000222 0.000101 由表易见，an随n的增大越来越接近于0，似乎极限应为0。然而，用我们 已知的极限知识可知，当n无限增大时，→0，cos→1，故a,的极限应是 n 1 10000 例3某公司招聘新职员，甲岗底薪是1000元/月，每一个月加薪200元： 乙岗底薪600元/月，每半月加薪60元。两种岗位都是每半个月发一次薪水，问 你选哪一种岗位？ 仅凭直觉，很多人可能选甲岗，甲岗真比乙岗收入高吗？请看下表（以半月 为单位)： J5 的  − N 与  − 语言来刻画极限呢？这是很多初学者容易提出的问题。 （1）柯西极限定义的科学内涵与缺陷 1 。）柯西极限定义的科学内涵——极限概念在本质上是刻画在一个无限变化 过程中变量的最终变化趋势的。按照该定义， d n n a = A= → lim 当 n 无限增大时，数列 n a 无限趋近一个定值 A ，最终使 n a 的值 与 A 之差要多小就多小。 d x x x f x = A= →  → lim ( ) ( , ) 0 当 x 无限趋近于 0 x 时，函数 f (x) 无限趋近一个定值 A ，最 终使 f (x) 的值与 A 之差要多小就多小。 2 。）柯西极限定义的缺陷——该定义是“描述性的”、“直观的”，没有对其 中的“两个无限”作进一步量的刻画，因此用该定义难以判定比较复杂极限的存 在性，难以计算极限的值，更难以进行逻辑推理。 基于直观的判断实际上是一种“有限归纳”，很难用以判断无限变化的过程. 例 1 判定数列 n n n a ) 1 = (1+ 有无极限，极限是多少？ n 1 2 3 4 5 6 10 20 … n n ) 1 (1+ 2 2.25 2.37038 2.44141 2.48832 2.52159 2.59374 2.65329 … 由表中数字易见， n a 似乎随 n 单调增大，但难以断定它是否有极限？极限值 是什么？ 例 2 判断数列 10000 5 cos 1 3 n n an = + 的极限值是什么？ n 1 2 10 20 100 … n a 1.000028 0.124920 0.001088 0.000222 0.000101 … 由表易见， n a 随 n 的增大越来越接近于 0，似乎极限应为 0。然而，用我们 已知的极限知识可知，当 n 无限增大时， 1 5 0, cos 1 3 → → n n ，故 n a 的极限应是 10000 1 。 例 3 某公司招聘新职员，甲岗底薪是 1000 元/月，每一个月加薪 200 元； 乙岗底薪 600 元/月，每半月加薪 60 元。两种岗位都是每半个月发一次薪水，问 你选哪一种岗位？ 仅凭直觉，很多人可能选甲岗，甲岗真比乙岗收入高吗？请看下表（以半月 为单位）：