张量代数一仿射量代数运算及相关分解 谢锡麟 考虑到 Ae(i)⑧e() A;e0)eli ∑46(0)e()e()=∑+e()e()=更 故有φ∈PSym,有 13极分解 定理1.3(极分解定理).对任意非奇异仿射量φ∈ in(Rm),则唯一存在正交仿射量 Q∈Orth和对称正定仿射量R,L∈PSym,满足 更=Q·R=L·Q 证明由于更非奇异,则φ*·φ为对称正定仿射量,则有 (更更).( 其中(φ*·更)∈PSym.故有 令R=(重”中)∈PSym,Qn=*,(更*重),考虑到 QR·QR=(-*·( I 即QR∈Orth.由此即有更=Qn·R 同理,可有 ) 其中(更·更)∈PSym,所以 令Q1=匝更”)·,L=(雪·型”)∈PSm,同理可得Q∈Orth,所以有更=L·Q1 由此证得极分解的存在性,下面证明左右极分解的唯一性.以右极分解为例,设有 =QR·R=QR·R,Qn,QR∈Orth,R,R∈Psym, 由此QR=Q·R.R-1,所以有 QR R·Q QR=(QR)=Q1张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—仿射量代数运算及相关分解 谢锡麟 考虑到 Φ α · Φ β = (∑m i=1 λ α i e⟨i⟩ ⊗ e⟨i⟩ ) ·   ∑m j=1 λ β j e⟨j⟩ ⊗ e⟨j⟩   = ∑m i,j=1 λ α i λ β j δ⟨ij⟩e⟨i⟩ ⊗ e⟨i⟩ = ∑m i=1 λ α+β i e⟨i⟩ ⊗ e⟨i⟩ = Φ α+β , 故有 ∀ Φ ∈ PSym, 有 Φ α · Φ β = Φ β · Φ α = Φ α+β , ∀ α, β ∈ R. 1.3 极分解 定理 1.3 (极分解定理). 对任意非奇异仿射量 Φ ∈ L in(R m), 则唯一存在正交仿射量 Q ∈ Orth 和对称正定仿射量 R, L ∈ PSym, 满足 Φ = Q · R = L · Q. 证明 由于 Φ 非奇异, 则 Φ ∗ · Φ 为对称正定仿射量, 则有 Φ ∗ · Φ = (Φ ∗ · Φ) 1 2 · (Φ ∗ · Φ) 1 2 , 其中 (Φ ∗ · Φ) 1 2 ∈ PSym. 故有 Φ = Φ −∗ · (Φ ∗ · Φ) 1 2 · (Φ ∗ · Φ) 1 2 . 令 R = (Φ ∗ · Φ) 1 2 ∈ PSym, QR = Φ −∗ · (Φ ∗ · Φ) 1 2 , 考虑到 Q∗ R · QR = (Φ −∗ · (Φ ∗ · Φ) 1 2 ) ∗ · (Φ −∗ · (Φ ∗ · Φ) 1 2 ) = (Φ ∗ · Φ) 1 2 · (Φ ∗ · Φ) −1 · (Φ ∗ · Φ) 1 2 = I, 即 QR ∈ Orth. 由此即有 Φ = QR · R. 同理, 可有 Φ · Φ ∗ = (Φ · Φ ∗ ) 1 2 · (Φ · Φ ∗ ) 1 2 , 其中 (Φ · Φ ∗ ) 1 2 ∈ PSym, 所以 Φ = (Φ · Φ ∗ ) 1 2 · (Φ · Φ ∗ ) 1 2 · Φ −∗ . 令 QL = (Φ · Φ ∗ ) 1 2 · Φ −∗ , L = (Φ · Φ ∗ ) 1 2 ∈ PSym, 同理可得 QL ∈ Orth, 所以有 Φ = L · QL. 由此证得极分解的存在性, 下面证明左右极分解的唯一性. 以右极分解为例, 设有 Φ = QR · R = Qe R · Re , QR, Qe R ∈ Orth, R, Re ∈ PSym, 由此 QR = Qe R · Re · R−1 , 所以有 Q∗ R = R−1 · Re · Qe ∗ R, QR = (Q∗ R) −1 = Qe R · Re −1 · R. 4