(2)若Ⅰ为无限区间,举例说明∫·g在/上不一定一致连续 5.设∫定义在(ab)上证明:若对(ab)内任一收敛数列{xn},极限m∫(x)都存在, 则∫在(ab)上一致连续 6.函数∫在{a+∞)上连续,且有斜渐近线,即有数bc,使得 证明:f在[a+∞)上一致连续 习题答案 §1关于实数集完备性的基本定理 5.(1)能;(2)()不能,(i)能. §3上极限和下极限 1.(1)2,0;(2) ;(3)+∞,+∞;(4)2,-2;(5)x,丌;(6)1,1 典型习题解答 1.(§1第7题)设{xn}为单调数列证明:若{xn}存在聚点,则必是唯一的,且为{xn}的 确界. 证明:设{xn}为递增数列,设占为{xn}的聚点下证=sup{xn} 1)5是{xn}的上界若不然,3xN∈{xn},使5<x,取0=x-5,由{xn}的递增性, U(5,60)内只含有{xn}中的有限项x,x2…,x1,这与5是{xn}的聚点矛盾从而5是 xn}的上界 )a<5,取 则3x∈U(,E0)nn} a<x 所以5=sp{xn}.由确界的唯一性,聚点是唯一的 2.(§1第8题)试用有限覆盖定理证明聚点定理 证明:设S是实轴上的一个有界无限点集,则M>0,使得Sc[M,M]假设[M,M 中的任意点都不是S的聚点,则x∈[-M,M彐δ>0,使得U(x,o,)中只有S中的有3 （2）若 I 为无限区间，举例说明 f • g 在 I 上不一定一致连续. 5．设 f 定义在 (a,b) 上.证明：若对 (a,b) 内任一收敛数列 xn  ，极限 ( ) n n f x → lim 都存在， 则 f 在 (a,b) 上一致连续. 6．函数 f 在 a,+) 上连续，且有斜渐近线，即有数 b,c ，使得 lim  ( )− −  = 0 → f x bx c x 证明： f 在 a,+) 上一致连续. 习题答案 §1 关于实数集完备性的基本定理 5．（1）能；（2）(i)不能，(ii)能. §3 上极限和下极限 1．（1）2，0；（2） 2 1 ， 2 1 − ；（3） +,+ ；（4）2，-2；（5）  , ；（6）1，1. 典型习题解答 1．（§1 第 7 题）设 xn  为单调数列.证明：若 xn  存在聚点，则必是唯一的，且为 xn  的 确界. 证明：设 xn  为递增数列，设  为 xn  的聚点.下证  = supxn  1）  是 xn  的上界.若不然， xN xn  ，使 N   x ，取  0 = xN − ，由 xn  的递增性， ( ) 0  , 内只含有 xn  中的有限项 1 2 1 , , , N− x x  x .这与  是 xn  的聚点矛盾.从而  是 xn  的上界. 2） a   ，取 2 0 − a =   ，则 xN (, 0 )xn  ，使得 N a  x . 所以  = supxn .由确界的唯一性，聚点是唯一的. 2．（§1 第 8 题）试用有限覆盖定理证明聚点定理. 证明：设 S 是实轴上的一个有界无限点集，则 M  0 ，使得 S  − M,M.假设 − M,M 中的任意点都不是 S 的聚点，则 x − M,M, x  0 ，使得 ( ) x  x; 中只有 S 中的有