§3上极限和下极限 求以下数列的上、下极限 (1)+(-y} (2){(-) 2n+1 (3)2 l (5) (6) 2.设{an}伪n}为有界数列,证明: (1)man=-m(-an); (2)皿man+mb≤皿m(an+bn) → (3)设an>0,bn>0(n=12…),则 皿 m a lim b≤皿 m a b, lima lim b≥ lim a b; (4)若an>0,lman>0,则lm 3.证明:若{n}为递增数列,则皿man= lim a 4.证明:若an>On=2,…)且man·m-=1,则数列{an}收敛 nI-o a 5.证明定理7.8 6.证明定理7.9 总练习题 1.证明:{xn}为有界数列的充要条件是{xn}的任一子列都存在其收敛子列 2.设∫在(anb)内连续,且m∫(x)=lm∫(x)=0.证明:∫在(ab)内有最大值或最 小值 3.设∫在[ab]上连续,又{xn}c[b],使得lmnf(xn)=A.证明:存在xo∈[ab],使 得∫(x)=A 4.设∫和g都在区间/上一致连续 (1)若为有限区间,证明:f·g在上一致连续;2 §3 上极限和下极限 1． 求以下数列的上、下极限： （1）  ( )  n 1+ −1 ； （2） ( )       + − 2 1 1 n n n ； （3） 2n +1 ； （4）       + 4 sin 1 2 n n n ； （5）       + n n n  sin 1 2 ； （6）         n n 3 cos  . 2． 设 an ,bn  为有界数列，证明： （1） ( ) n n n n a = − − a → → lim lim ； （2） ( ) n n n n n n n a + b  a + b → → → lim lim lim (3)设 a  0,b  0(n =1,2, ) n n ，则 n b n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b → → → → → → lim lim  lim ,lim lim  lim ； （4）若  0,lim  0 → n n an a ，则 n n n n a a → → = lim 1 1 lim . 3． 证明：若 an  为递增数列，则 n n n n a a → → lim = lim . 4． 证明：若 a  0(n =1,2, ) n 且 1 1 lim • lim = → → n n n n a a ，则数列 an  收敛. 5． 证明定理 7.8 6． 证明定理 7.9 总练习题 1． 证明： xn  为有界数列的充要条件是 xn  的任一子列都存在其收敛子列. 2． 设 f 在 (a,b) 内连续，且 lim ( ) = lim ( ) = 0 → + → − f x f x x a x b .证明： f 在 (a,b) 内有最大值或最 小值. 3． 设 f 在 a,b 上连续，又 x  a b n  , ，使得 f (xn ) A n = → lim .证明：存在 x a,b 0  ，使 得 f (x0 ) = A . 4． 设 f 和 g 都在区间 I 上一致连续. （1）若 I 为有限区间，证明： f • g 在 I 上一致连续；