第七章实数的完备性 习题 §1关于实数集完备性的基本定理 1.证数集{(-1)+}有且只有两个聚点51=-1和52=1 2.证明:任何有限数集都没有聚点 3.设{(anbn)是一个严格开区间套,满足 a1<a2<…<an<b<…<b2<b1, 且m(bn-an)=0.证明:存在唯一的一点,使得 <5<bn,n=1,2, 4.试举例说明:在有理数集内,确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般 都不成立 5.设H ,=12…}.问 n+2 (1)H能否覆盖()? 2能语从中选出有限个开区间覆盖(0号(m) 6.证明:闭区间[a,b]的全体聚点的集合是[ab]本身 7.设{xn}为单调数列证明:若{xn}存在聚点,则必是唯一的,且为{xn}的确界 8.试用有限覆盖定理证明聚点定理 9.试用聚点定理证明柯西收敛准则 §2闭区间上连续函数性质的证明 1.设∫为R上连续的周期函数证明:∫为R上有最大值与最小值 2.设为有限区间证明:若∫在/上一致连续,则∫在上有界举例说明此结论当/为 无限区间时不一定成立 3.证明:f(x)=51x在(0+)上一致连续 4.试用有限覆盖定理证明根的存在定理 5.证明:在(ab)上的连续函数∫为一致连续的冲要条件是f(a+0)/(b-0)都存在1 第七章 实数的完备性 习题 §1 关于实数集完备性的基本定理 1． 证数集 ( )       − + n n 1 1 有且只有两个聚点  1 = −1 和  2 =1. 2． 证明：任何有限数集都没有聚点. 3． 设 (an ,bn ) 是一个严格开区间套，满足 a1  a2  an  bn  b2  b1， 且 lim ( − ) = 0 → n n n b a .证明：存在唯一的一点  ，使得 an    bn ,n =1,2,  4． 试举例说明：在有理数集内，确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般 都不成立. 5． 设        =      + = 1,2, 1 , 2 1 n n n H .问： （1） H 能否覆盖 (0,1) ？ （2）能否从 H 中选出有限个开区间覆盖 ( ) ( )             ,1 100 1 , 2 1 i 0, ii ？ 6． 证明：闭区间 a,b 的全体聚点的集合是 a,b 本身. 7． 设 xn  为单调数列.证明：若 xn  存在聚点，则必是唯一的，且为 xn  的确界. 8． 试用有限覆盖定理证明聚点定理. 9． 试用聚点定理证明柯西收敛准则. §2 闭区间上连续函数性质的证明 1．设 f 为 R 上连续的周期函数.证明： f 为 R 上有最大值与最小值. 2．设 I 为有限区间.证明：若 f 在 I 上一致连续，则 f 在 I 上有界.举例说明此结论当 I 为 无限区间时不一定成立. 3．证明： ( ) x x f x sin = 在 (0,+) 上一致连续. 4．试用有限覆盖定理证明根的存在定理. 5．证明：在 (a,b) 上的连续函数 f 为一致连续的冲要条件是 f (a + 0), f (b − 0) 都存在