自动控制系统及应用 147 s|114200 s4288800 s3|-30-200 s2|74.7800 s121 第一列出现了负数,且有两次符号变化,即从2→-30和-30→74.7,所以系统不稳 定,且有两个正根。 如将特征方程解出,有S1=-4s23=2±j4;s4s=-1±j3。确有两个正根,与劳斯判 据结果相一致。 如果劳斯阵表中某一行第一个元为零,其余不全为零,这时可用一个很小的正数E来代 替这个零,从而可以使劳斯阵表继续算下去。否则下一行将出现∞ 例5.2特征方程为s5+2s4+3s3+652+2s+1=0,判别其是否稳定及不稳定根数 目 解:列出劳斯阵表 2 61 3/2 32-c/(6-3 当E→0时 <0,而 →,即第一列改变符号两次,因此特征方 程有两个正根,系统肯定不稳定 在劳斯阵表计算中,当出现某行的元全为零时,可由该行的上一行的元构成辅助方程。 将辅助方程对变量S求导,得到一个新方程,将新方程的系数作为阵表中全为零的行的元, 则阵表的计算工作可继续下去。并且通过求解辅助方程,便可求出特征方程中所含数值相同、 符号相异的这类特征根。 例5.3设系统的特征方程式为s3+3s2+s+3=0,劳斯阵表计算时,发现第三行的元 全为零,即 s00 根据第二行各元,可求得辅助方程,即F(s)=32+3=0,将辅助方程对变量S求导,自动控制系统及应用 147 5 4 3 2 1 0 1 14 200 2 88 800 30 200 74.7 800 121 800 s s s s s s − − 第一列出现了负数，且有两次符号变化，即从 2 30 →− 和 − →30 74.7 ，所以系统不稳 定，且有两个正根。 如将特征方程解出，有 1 2,3 4,5 s s j s j = − =  = −  4; 2 4; 1 3 。确有两个正根，与劳斯判 据结果相一致。 如果劳斯阵表中某一行第一个元为零，其余不全为零，这时可用一个很小的正数  来代 替这个零，从而可以使劳斯阵表继续算下去。否则下一行将出现  。 例 5.2 特征方程为 5 4 3 2 s s s s s + + + + + = 2 3 6 2 1 0 ，判别其是否稳定及不稳定根数 目。 解：列出劳斯阵表 5 4 3 2 1 2 0 1 3 2 2 6 1 0( ) 3 2 (6 3) 1 3 2 (6 3) 1 s s s s s s      − − − 当  →0 时， 6 3 0   −  ，而 2 3 3 2 6 3 2   − → − ，即第一列改变符号两次，因此特征方 程有两个正根，系统肯定不稳定。 在劳斯阵表计算中，当出现某行的元全为零时，可由该行的上一行的元构成辅助方程。 将辅助方程对变量 s 求导，得到一个新方程，将新方程的系数作为阵表中全为零的行的元， 则阵表的计算工作可继续下去。并且通过求解辅助方程，便可求出特征方程中所含数值相同、 符号相异的这类特征根。 例 5.3 设系统的特征方程式为 3 2 s s s + + + = 3 3 0 ，劳斯阵表计算时，发现第三行的元 全为零，即 3 2 1 0 1 1 3 3 0 0 s s s s 根据第二行各元，可求得辅助方程，即 2 F s s ( ) 3 3 0 = + = ，将辅助方程对变量 s 求导