自动控制系统及应用 148 得新方程6s=0,并用新方程的系数代换第三行的零元。劳斯阵表可继续计算,最后得: 33 s6 这种情况表明,系统的特征根中有一对纯虚根存在。这对纯虚根可由辅助方程 32+3=0解得,即 对于阶次较低的系统(如二阶和三阶系统),劳斯稳定判据可以化为如下简单形式。 二阶系统(n=2)稳定的充要条件为: 0,a1>0,a>0 (5.6) 三阶系统(n=3)稳定的充要条件为 a3>0.a2>0,a1>0,a>0 请读者分别列出其劳斯阵表加以验证 应用劳斯判据,还可确定保证系统稳定时系统某参数的取值 例54设某控制系统的方框图如图7.3所示。已知5=0.2及On=866,试确定K1取 何值时,系统方能稳定。 解:由图5.3可分别求得系统的开环及闭环传递函数,即 C(s)2(s+K) E(s) S(s+250,) C(s) 及 2(s+K R(S) s+250 5+O+s+K,On) 5.3系统方块图 则闭环特征方程式为 +250,s-+Ons+KOn=0 将已知参数ξ及O数值代入特征方程,得到 s3+346s2+7500s+7500K1=0 依三阶系统稳定的充要条件得: ∫7500>0 1346×7500-7500K>0 故0<K1<346。自动控制系统及应用 148 得新方程 6 0 s = ，并用新方程的系数代换第三行的零元。劳斯阵表可继续计算，最后得： 3 2 1 0 1 1 3 3 6 3 s s s s 这种情况表明，系统的特征根中有一对纯虚根存在。这对纯虚根可由辅助方程 2 3 3 0 s + = 解得，即 1,2 s j =  。 对于阶次较低的系统（如二阶和三阶系统），劳斯稳定判据可以化为如下简单形式。 二阶系统 ( 2) n = 稳定的充要条件为： 2 1 0 a a a    0, 0, 0 (5.6) 三阶系统 ( 3) n = 稳定的充要条件为： 3 2 1 0 1 2 0 3 0, 0, 0, 0 0 a a a a a a a a       −   (5.7) 请读者分别列出其劳斯阵表加以验证。 应用劳斯判据，还可确定保证系统稳定时系统某参数的取值。 例 5.4 设某控制系统的方框图如图 7.3 所示。已知  = 0.2 及 n  = 86.6 ，试确定 K1 取 何值时，系统方能稳定。 解：由图 5.3 可分别求得系统的开环及闭环传递函数，即 2 n 1 2 n ( ) ( ) ( ) ( 2 ) C s s K s s s    + = + 及 2 n 1 3 2 2 2 n n 1 n ( ) ( ) ( ) 2 ) C s s K R s s s s K     + = + + + 则闭环特征方程式为： 3 2 2 2 n n 1 n s s s K + + + = 2 0    将已知参数  及 n 数值代入特征方程，得到： 3 2 1 s s s K + + + = 34.6 7500 7500 0 依三阶系统稳定的充要条件得： 1 1 7500 0 34.6 7500 7500 0 K K      −  故 1 0 34.6   K 。 + - 图7.3 系统方框图 + 1 + ( +2 ) n 2 n 图 5.3 系统方块图