(4)∫ In2x dx x-In-x xiN xd 5x(3x-4x)9xk=27x(x-12hx+8+C .5)Jx2e' sin xdx=x' sin xd e=x'e' sinx-fe'(2.x sin x+x cosx)dr e(xsin x-2x sin x-x cos x)+]e (2 sin x+4x cos x=x'sinx)dx 于是 Jx2e sin xdx=)e(x'sinx-2x sin x-x cos x)+3e(2sinx+4.x cos x)dx 由于 e sin xdx =-e(sin x-cos x)+C, Jex cos xdx=]x cos xde =ex cos x-Je (cos xr-xsinx)dr e xcosx-e' cos xdx+xsinxde =e'xcosx+sinx)-e cos xdx-e(sin x+xcos x)dx, 从而 Je'rcos xdr =e x(cos x+ sin x)-fJe(cos x+sinx)dr =ex(cos x + sin x)--e sin x+C, 所以 x2e' sin xdx=e[(x2-1)sin x-(x-1)2 cos x]+C (6)m+x)=xh+x)-12x=xm+x)-2x+2acnx+C。 (7)[arcsin x dx=-.rd 1-x arcsinx +vI-x(arcsinx（4） x ln x dx 2 ∫ = ∫ ∫ xdx = x x− x ln xdx 3 4 ln 3 2 ln 3 2 2 1 2 2 3 2 3 2 = x x − x + x dx = x x − x + + C ∫ (9 ln 12 ln 8) 27 2 9 8 (3ln 4 ln ) 9 2 2 2 3 2 1 2 2 3 。 （5）∫ x x 2 e s x in dx = ∫ ∫ x xd = x x − e x x + x x dx x x x sin e e sin (2 sin cos ) 2 2 2 ∫ = x x − x x − x x + x + x x − x x dx x x e ( sin 2 sin cos ) e (2sin 4 cos sin ) 2 2 2 ， 于是 x xdx 2 x ∫ e sin ∫ = x x − x x − x x + x + x x dx x x e (2sin 4 cos ) 2 1 e ( sin 2 sin cos ) 2 1 2 2 。 由于 e xdx e x x C x x = − + ∫ (sin cos ) 2 1 sin ， ∫ ∫ ∫ e x xdx = x xde = e x x − e x − x x dx x x x x cos cos cos (cos sin ) ∫ ∫ = − + x x x e x cos x e cos xdx x sin xde ∫ ∫ = e x x + x − e xdx − e x + x x dx x x x (cos sin ) cos (sin cos ) ， 从而 ∫ e x xdx x cos ∫ = e x x + x − e x + x dx x x (cos sin ) 2 1 (cos sin ) 2 1 e x x x e x C x x = + − sin + 2 1 (cos sin ) 2 1 ， 所以 x xdx 2 x ∫ e sin = e x x x x C x [( −1)sin − ( −1) cos ] + 2 1 2 2 。 （6）∫ ln(1+ x 2 )dx = ln(1+ ) − 2 x x dx x x x x C x x = + − + + + ∫ ln(1 ) 2 2 arctan 1 2 2 2 2 。 （7） x x x dx 2 2 1 arcsin − ∫ = ∫ − − 2 x arcsin xd 1 x = ∫ − − − + − + dx x x x x x x x ) 1 1 arcsin 1 (arcsin 2 2 2 199