五、[12分设直线y=kx(0<k<1)与抛物线y=x2所围成的平面图形的面积为S,它 们与直线x=1所围成的平面图形的面积为S2 (1)计算由y=kx与y=x2所围平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积 (2)求常数k的值,使得S1+S2最小,并求S1+S2的最小值 解()y=kx与y=x2的交点为(0,0),(k,k2) (1分) 所以 V= rI()-x'kx=kx (4分) (2)S1=(kx-x2)x=k3-k3=k S2=(x2-kx)dx=1(1-k3)-1(1-k2)=2(2-3k+k3), S1+S2=(2-3k+2k3) (8分) 记(k)=2-3+2x2,则=-3+6k2=0,解得k=±2,负值舍去,k=2是唯一的驻点。 又 I"(k)=12k,/"()=6√2>0, 所以,k=√2是极小值点,也是最小值点 (11分) 因此,(S1+S2)mn=2 (12分) 六、[7分设函数f(x)在01上连续,在(0,1)内可导,且k。f(x)d=f()(k>1为常 数).求证:至少存在一点c∈(0,1),使得f(c)=0 解因为(x)在,1上连续,由积分中值定理,在0.内存在使得[(x)k=(2 于是 f(5)=k.f(x)dx=f(D) (4分) 又f(x)在[1上连续,(,1)内可导,且f(2)=f(1),因此,由罗尔定理,彐c∈(51)c(0,1), 使得f'(c)=0 (7分) 高数(一)A卷第6页共6页高数（一） A 卷 第 6 页 共 6 页 五、[12 分] 设直线 y = kx (0  k  1) 与抛物线 2 y = x 所围成的平面图形的面积为 1 S ，它 们与直线 x =1 所围成的平面图形的面积为 2 S ． （1）计算由 y = kx 与 2 y = x 所围平面图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积； （2）求常数 k 的值, 使得 S1 + S2 最小，并求 S1 + S2 的最小值． 解 (1) y = kx 与 2 y = x 的交点为 (0,0),( , ) 2 k k ， …………………(1 分) 所以 V kx x dx k x  = − 0 2 4 [( ) ] = 5 0 5 0 2 3 15 2 5 1 3 1 k x x k k k   =         − ． ………(4 分) (2) 3 0 2 3 3 1 6 1 3 1 2 1 S (k x x )dx k k k k = − = − =  ， (2 3 ) 6 1 (1 ) 2 (1 ) 3 1 ( ) 2 3 1 2 3 2 k k k k S x k x dx k k = − = − − − = − +  ， (2 3 2 ) 6 1 3 1 2 S + S = − k + k .……………………………………..(8 分) 记 3 I(k) = 2 − 3k + 2k ，则 3 6 0 2 = − + k = dk dI ，解得 2 2 k =  ，负值舍去， 2 2 k = 是唯一的驻点。 又 ) 6 2 0 2 2 I(k) = 12k,I( =  ， 所以， 2 2 k = 是极小值点，也是最小值点。…………………………………(11 分) 因此， ( ) (2 2) 6 1 ) 2 2 ( 6 1 1 2 min S + S = I = − ……………………(12 分) 六、[7 分] 设函数 f (x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，且 ( ) (1) 1/ 0 k f x dx f k =  (k  1 为常 数）．求证：至少存在一点 c(0,1) ，使得 f (c) = 0． 解 因为 f (x) 在[0，1]上连续，由积分中值定理，在 ] 1 [0, k 内存在  使得  = k k f x dx f 1 0 1 ( ) ( ) ， 于是  =  = k f k f x dx f 1 0 () ( ) (1) . ………………………………..(4 分) 又 f (x) 在 [ ,1] 上连续， (,1) 内可导，且 f ( ) = f (1) ，因此，由罗尔定理， c (,1)  (0,1) ， 使得 f (c) = 0 . ……………………………………………(7 分)