第9章量子力学基础 16l· 13.氢原子的基态波函数为v1=(1/√a)e-,求x、y、z均为 a0→>1.0la0的小体积内电子出现的概率(该体积内v可近似当作常数)。 d dxdyd:=v2(0.lao) 其中v e00ln)=1e25.(00)1=100×1 14.已知氢原子2p轨道波函数为 w2 =(a2nad G/ao exp(e-r/2a )cos e (1)求该轨道能级E; (2)求轨道角动量的绝对值M; (3)求该轨道角动量M与二轴的夹角 (4)求该轨道节面的形状和位置。 解:(1)E=-13.60V/n2=-13.60cV22=-340eV (2)M=√l(+1)h (3)M2=m=0,说明M垂直于z轴,夹角为90° (4)节面v=0,b=90°,即与二轴垂直的平面,由于r=0,说 明该节面过原点,所以节面为xy平面。 15.氢原子1s态本征函数v()=Ne,其中N和a为常数。(1) 求归一化常数N和常数a(利用12题中的积分公式):(2)求该轨道能 量本征值。第 9 章 量子力学基础 ·161· 13. 氢原子的基态波函数为 0 3 / 1s 0 (1/ π )e r a a − ψ = ，求 xyz 、 、 均为 0 0 a →1.01a 的小体积内电子出现的概率（该体积内ψ 可近似当作常数）。 解： ( )3 0 2 1s 1.01 2 1s 2 1s 2 1sd d d d d 0.01 0 0 P x y z a a a = ψ τ =ψ τ =ψ =ψ ∫ ∫ ∫∫∫ 其中 2 3 3 0 2 / 3 0 2 / 3 0 2 1s e π 1 e π 1 e π 1 0 2 2 2 − 0 − + + − = = ⋅ = ⋅ a a a r a x y z a ψ 所以 ( ) ( ) 3 2 3 3 9 0 2 3 3 0 e 0.01 10.0 10 π 1 e 0.01 π 1 − − − = ⋅ ⋅ a = ⋅ ⋅ = × a P 14. 已知氢原子2pz 轨道波函数为 ψ (4 2π ) ( ) 0 exp( ) 2 0 cosθ 1 3 2p a0 r a r a z = − − (1) 求该轨道能级 E ； (2) 求轨道角动量的绝对值 M ； (3) 求该轨道角动量 M 与 z 轴的夹角； (4) 求该轨道节面的形状和位置。 解：(1) 13.60eV / 13.60 eV/2 3.40 eV 2 2 E = − n = − = − (2) M = l (l +1) h = 2 h (3) M m z = = h 0，说明 M 垂直于 z 轴，夹角为 90°。 (4) 节面ψ = 0，θ = 90°，即与 z 轴垂直的平面，由于r = 0 ，说 明该节面过原点，所以节面为 xy 平面。 15. 氢原子 1s 态本征函数 ( ) r r N α ψ − = e ，其中 N 和α 为常数。(1) 求归一化常数 N 和常数α （利用 12 题中的积分公式）；(2) 求该轨道能 量本征值