第五届力学课程报告论坛论文—一力学基础知识体系的现有学习、研究与教学体会 力学专业的核心课程,可见我们主要基于力学和数学的思想及方法认知自然世界,以不断拓 展和深化我们的理性世界。我们把数学理解为“认识自然及非自然世界的系统的思想和方法 而非仅是数学逻辑”。此种观点,在俄罗斯数学教材选译等具有世界一流化水平的教程或专 著中有着深刻的表现进一步,我们提出这样的一种过程:认m自然现象=数学机制, 就此我们既认为数学机制应该是自然现象刻画的最佳形式,也认为对自然现象的刻画应该追 求对应的数学机制。另值得指出,不同的数学机制可能为不同自然现象的共同本质或刻画 我们称之为“数学通识”。法著名数学家 Poincare对数学的阐述为“对不同事物给予相同 刻画的技术”, V. ARnold也有类似的观点。数学通识既可引导我们按数学结构归纳某门知识 体系,也有益于建立不同知识体系之间的关系,为追求“(一门知识体系的)融会贯通与(多 门知识体系的)触类旁通”提供实质性的引导。 1.2数学实验 我们将实际的认识或者研究过程,归纳为三类实验:真实实验,数值实验以及数学实验。 从科硏硏究角度而言,真实实验及数值实验均无法单方面将其所得结论确定为真理,因为真 实实验不可能穷尽,真实实验及数值实验也不可避免地带有误差。数学实验(包括解析分析) 指对实际硏究对象首先建立模型,其次进行数学分析,然后将分析结果应用于实际对象。值 得指出,数学实验可能在某些情况可单方面就能确认其实验结果为“真理”;但在某些情况 也无法确认,此时相关结论必须经实践鉴别或者检验。以下列举二个数学实验事例。 ☆数学实验可确认实验结论为“真理”的事例:平面曲边扇形以及曲边梯形的面积计算 f(r) 图2平面曲边扇形以及曲边梯形示意图 面对平面曲边扇形的面积计算,我们开展数学实验,包括:数学建模→数学分析→指 导实践这三个基本过程 1.数学建模:按“分割→选取→求和→求极限”的过程,我们得到曲面扇形面积的一个计 算方案 R(O)dO=1mo|R2(),P,5|=1m∑R(5)△ PH04= 2 2.数学分析:致力于基于数学逻辑,研究上述面积计算方案的合理性。考虑到:对应分割P 每子块的真实面积S,具有如下估计:第五届力学课程报告论坛论文——力学基础知识体系的现有学习、研究与教学体会 2 力学专业的核心课程，可见我们主要基于力学和数学的思想及方法认知自然世界，以不断拓 展和深化我们的理性世界。我们把数学理解为“认识自然及非自然世界的系统的思想和方法， 而非仅是数学逻辑”。此种观点，在俄罗斯数学教材选译等具有世界一流化水平的教程或专 著中有着深刻的表现。进一步，我们提出这样的一种过程： + lim = 认知  自然现象 数学机制， 就此我们既认为数学机制应该是自然现象刻画的最佳形式，也认为对自然现象的刻画应该追 求对应的数学机制。另值得指出，不同的数学机制可能为不同自然现象的共同本质或刻画， 我们称之为“数学通识”[1]。法著名数学家 Poincare 对数学的阐述为“对不同事物给予相同 刻画的技术”，V.I.Arnold 也有类似的观点。数学通识既可引导我们按数学结构归纳某门知识 体系，也有益于建立不同知识体系之间的关系，为追求“（一门知识体系的）融会贯通与（多 门知识体系的）触类旁通”提供实质性的引导。 1.2 数学实验 我们将实际的认识或者研究过程，归纳为三类实验：真实实验，数值实验以及数学实验。 从科研研究角度而言，真实实验及数值实验均无法单方面将其所得结论确定为真理，因为真 实实验不可能穷尽，真实实验及数值实验也不可避免地带有误差。数学实验（包括解析分析） 指对实际研究对象首先建立模型，其次进行数学分析，然后将分析结果应用于实际对象。值 得指出，数学实验可能在某些情况可单方面就能确认其实验结果为“真理”；但在某些情况 也无法确认，此时相关结论必须经实践鉴别或者检验。以下列举二个数学实验事例。 ☆ 数学实验可确认实验结论为“真理”的事例：平面曲边扇形以及曲边梯形的面积计算 o  a b x y o x y a b R  f x  图 2 平面曲边扇形以及曲边梯形示意图 面对平面曲边扇形的面积计算，我们开展数学实验，包括：数学建模→数学分析→指 导实践这三个基本过程。 1. 数学建模：按“分割→选取→求和→求极限”的过程，我们得到曲面扇形面积的一个计 算方案：       2 2 2 0 0 1 1 1 1 : lim , , lim 2 2 2 b a N i i P P i S R d R P R                            2. 数学分析：致力于基于数学逻辑，研究上述面积计算方案的合理性。考虑到：对应分割 P ， 每子块的真实面积 Sreal i, 具有如下估计：