基本理论课程 「生物力学 Euclid空间中的张量分析与微分几何 固体力学 非 Euclid空间中的张量分析与微分几何 生物力学基础 体力学基础 血液动力学 连续介质力学一般理论 弹塑性力学 (物质系统: Euclid流形,非Euid流形) 流体力学 涡量与涡动力学基础涡量空气动力学 第二部分现有研究的主要内容(研究成果) §2.1连续介质力学基本理论的发展 本项目研究过程中,我们在连续介质力学基础理论研究方面取得一定进展。主要表现为,按连续介质 的几何形态区分为 Euclid流形(体)和 Riemann流形(曲面)。针对几何形态为 Euclid流形的连续介质 提出“当前物理构形对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论”;相关理论适合研究边界可作有限变形 运动的流固耦合问题,如可变形飞行器飞行特性、生物体流动等。针对几何形态为 Riemann流形的连续介 质提出“几何形态为曲面( Riemann流形)的有限变形理论”;相关理论适合镀膜过程、生物膜运动、水面 上油污扩散等问题。上述有限变形理论参照经典有限变形理论的基本内容做平行发展,主要包括构形及曲 线坐标系构造:变形梯度定义及其基本性质:变形刻画及输运定理;守恒律控制方程。结合当前力学、航 空宇航科学与技术、生物医学工程等学科的发展趋势,上述二套有限变形理论所适用的研究对象均属热点。 此方面研究成果对应成果形式[1](请见后附)。 作为连续介质力学的数学基础,结合本项目负责人另一教学路径“微积分的一流化进程”,主要包括 一年制《数学分析》,《经典力学数学名著选讲(有关微积分的深化)》,《流形上的微积分》,《应用实变函 数与泛函分析基础》。籍此,我们基本实现了将一般赋范线性空间上微分学的基本理论对应实现至张量映 照,由此使得张量分析知识体现更具系统性、严格性和现代性。此方面研究成果对应成果形式[2-41] §2.2基本理论课程知识体系更新 上述基础理论方面的进展,使得我们更新了相关基础理论课程的主要讲述内容及进度安排。如下所述。 课程《张量分析与微分几何基础》(专业选修,明确为每周3学时),计划按下述体系构建讲述内容: ①张量的基本代数性质(I)。将张量定义为有限维 Euclid空间中的多重线性映照,涉及协变、逆变基(对 偶基),简单张量及张量表示,张量并积,张量多点点积。②有限维 Euclid空间中一般曲线坐标系上的张 量场分析。基于有限维 Euclid空间以及张量赋范线性空间上的微分学(引述一般赋范线性空间上微分学的 相关理论),基于微分同胚定义曲线坐标系,曲线坐标诱导之局部基及其运动方程(引入 Christoffel符号); 基于张量场可微性引入张量梯度及协变(逆变)导数;张量场场论分析,包括场论恒等式推导的一般方法; 非完整基思想及方法;广义 Gauss- Ostrogradski公式与广义 Stokes公式;应用方面涉及弹性力学、流体 力学中基本关系式。③张量的基本代数性质(Ⅱ)。引入置换算子,对称及反称化算子,外积运算, Hodge 星算子;仿射量特征问题的相关表述,涉及行列式定义,主不变量表示, Hamilton- Cayley定理。④张量 第2页共6页第 2 页 共 6 页 Euclid Euclid 空间中的张量分析与微分几何 非 空间中的张量分析与微分几何 Euclid Euclid 连续介质力学一般理论 （物质系统： 流形，非 流形） 涡量与涡动力学基础 固体力学基础 涡量空气动力学 弹塑性力学 生物力学基础 基本理论课程 生物力学 血液动力学 流体力学 固体力学 第二部分 现有研究的主要内容（研究成果） §2.1 连续介质力学基本理论的发展 本项目研究过程中，我们在连续介质力学基础理论研究方面取得一定进展。主要表现为，按连续介质 的几何形态区分为 Euclid 流形（体）和 Riemann 流形（曲面）。针对几何形态为 Euclid 流形的连续介质 提出“当前物理构形对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论”；相关理论适合研究边界可作有限变形 运动的流固耦合问题，如可变形飞行器飞行特性、生物体流动等。针对几何形态为 Riemann 流形的连续介 质提出“几何形态为曲面（Riemann 流形）的有限变形理论”；相关理论适合镀膜过程、生物膜运动、水面 上油污扩散等问题。上述有限变形理论参照经典有限变形理论的基本内容做平行发展，主要包括构形及曲 线坐标系构造；变形梯度定义及其基本性质；变形刻画及输运定理；守恒律控制方程。结合当前力学、航 空宇航科学与技术、生物医学工程等学科的发展趋势，上述二套有限变形理论所适用的研究对象均属热点。 此方面研究成果对应成果形式[1]（请见后附）。 作为连续介质力学的数学基础，结合本项目负责人另一教学路径“微积分的一流化进程”，主要包括 一年制《数学分析》，《经典力学数学名著选讲（有关微积分的深化）》，《流形上的微积分》，《应用实变函 数与泛函分析基础》。籍此，我们基本实现了将一般赋范线性空间上微分学的基本理论对应实现至张量映 照，由此使得张量分析知识体现更具系统性、严格性和现代性。此方面研究成果对应成果形式[2-4]。 §2.2 基本理论课程知识体系更新 上述基础理论方面的进展，使得我们更新了相关基础理论课程的主要讲述内容及进度安排。如下所述。 课程《张量分析与微分几何基础》（专业选修，明确为每周 3 学时），计划按下述体系构建讲述内容： ①张量的基本代数性质（Ⅰ）。将张量定义为有限维 Euclid 空间中的多重线性映照，涉及协变、逆变基（对 偶基），简单张量及张量表示，张量并积，张量多点点积。②有限维 Euclid 空间中一般曲线坐标系上的张 量场分析。基于有限维 Euclid 空间以及张量赋范线性空间上的微分学（引述一般赋范线性空间上微分学的 相关理论），基于微分同胚定义曲线坐标系，曲线坐标诱导之局部基及其运动方程（引入 Christoffel 符号）； 基于张量场可微性引入张量梯度及协变（逆变）导数；张量场场论分析，包括场论恒等式推导的一般方法； 非完整基思想及方法；广义 Gauss－Ostrogradskii 公式与广义 Stokes 公式；应用方面涉及弹性力学、流体 力学中基本关系式。③张量的基本代数性质（Ⅱ）。引入置换算子，对称及反称化算子，外积运算，Hodge 星算子；仿射量特征问题的相关表述，涉及行列式定义，主不变量表示，Hamilton－Cayley 定理。④张量