2002-2003学年第二学期概率论与数理统计(B)期末考试试卷答案 三.(本题满分20分,共有2道小题,每道小题10分) 1l.设A与B是两个随机事件,且P(4)>0,P(B)>0.定义随机变量X、Y如下: 若事件A发生 若事件B发生 X o若事件4不发生 l0若事件B不发生 证明:如果X与Y不相关,则X与Y相互独立 如果X与Y不相关,则E(XY)=E(X)E() If E(xY)=P(X=l, Y=1=P(AB), E(X)=P(X=1=P(A, E(r)=P(y=1=P(B) 因此有,P(B)=P(4)P(B),这表明,随机事件A与B相互独立 因此,随机事件A与B相互独立:随机事件A与B相互独立:随机事件A与B相互独立 由随机事件互与B相互独立,得P{X=0.,Y=1}=P{x=0}Py=1 由随机事件A与B相互独立,得P{X=1,Y=0}=P{x=1}Py=0} 由随机事件与B相互独立,得P{X=0,Y=0}=P{X=0Py=0} 即,P{x=x,y=y,}=P{x=xp=y}(x,=0,1y1=0,1) 这表明,随机变量X与Y相互独立 12.设总体X存在二阶矩,记E(x)=μ,D(x)=a32.(X2X Xn)是取自该总体的 个样本,S2是样本方差.证明:E(S2)=a 解 E(s)=E∑(x ∑(x-x) (x,-)-(x-) n40-0+x-3-n- 第6页共9页2002-2003 学年第二学期概率论与数理统计（B）期末考试试卷答案 第 6 页 共 9 页 三．（本题满分 20 分，共有 2 道小题，每道小题 10 分）， 11．设 A 与 B 是两个随机事件，且 P(A)  0 ， P(B)  0 ．定义随机变量 X 、Y 如下：    = 若事件 不发生 若事件 发生 A A X 0 1 ，    = 若事件 不发生 若事件 发生 B B Y 0 1 ． 证明：如果 X 与 Y 不相关，则 X 与 Y 相互独立． 解： 如果 X 与 Y 不相关，则 E(XY) = E(X )E(Y)． 而 E(XY) = PX =1, Y =1= P(AB)， E(X) = PX =1= P(A)， E(Y) = PY =1= P(B)． 因此有， P(AB) = P(A)P(B) ，这表明，随机事件 A 与 B 相互独立． 因此，随机事件 A 与 B 相互独立；随机事件 A 与 B 相互独立；随机事件 A 与 B 相互独立． 由随机事件 A 与 B 相互独立，得 PX = 0, Y =1= PX = 0PY =1 ； 由随机事件 A 与 B 相互独立，得 PX =1, Y = 0= PX =1PY = 0 ； 由随机事件 A 与 B 相互独立，得 PX = 0, Y = 0= PX = 0PY = 0 ； 即， PX = xi , Y = y j= PX = xiPY = y j ( = 0, 1; = 0, 1) i j x y ． 这表明，随机变量 X 与 Y 相互独立． 12．设总体 X 存在二阶矩，记 E(X ) =  ， ( ) 2 D X =  ．( ) X X Xn , , , 1 2  是取自该总体的一 个样本， 2 S 是样本方差．证明： ( ) 2 2 E S =  ． 解： ( ) ( ) ( )       − −  =      − − =   = = n i i n i i E X X n X X n E S E 1 2 1 2 2 1 1 1 1 (( ) ( ))       − − − − = = n i E Xi X n 1 2 1 1   (( ) ( ) ( )( ))      − + − − − − − = = n i E Xi X X Xi n 1 2 2 2 1 1     ( ) ( ) ( ) ( )      − + − − − − − =   = = n i n i E Xi n X X Xi n 1 1 2 2 2 1 1    