312 高等数学重点难点100讲 数z在点(x0,y)处可微分,函数z在点(xo,y)处的全微分才存在,且全微分dz|n, dx t az dy.若上述极限式不成立,即便是 和 ay 均存在,也不能 y) (ro yo) (r 说函数z在点(x0,y)处可微,也不能称 dx+ az dy为函数z在点(x0,y)处的 (x。·yo) 全微分,只不过能形式地写出式子 dx dy dy罢了可见,通常检验一个函数 (x0·y0) 是否可微的一般思维程序应该是:先看它是否连续,如不连续,则不可微;如连续,再看是否 可导,偏导数不存在则必不可微;如f(x,y)在(xo,y)连续,且可导,再看导数是否连续,如 连续则可微;如导数不连续(或连续不易判断时),再像本例那样直接用可微定义来检验 例4(单选题)f(x,y)在点(x,y)处f:(xa,y0),,(x,y)存在是f(x,y)在该点连 续的() (A)充分而非必要条件; (B)必要而非充分条件; (C)充分必要条件; (D)非充分又非必要条件 解初学者往往根据一元函数中的“可导必连续”的结论去选A,作出这种错误选择的 原因在于没有真正理解多元函数的连续性概念与偏导数概念,没弄清两者之间的联系与区 别 以二元函数z=f(x,y)为例,f(x,y)在点(x,y)连续,是指当P(x,y)按任何方式趋 向于P(xo,y)时,函数f(x,y)趋向于f(x,y);由偏导数定义知,f,(x,y)是否存在以及 它的值(如果存在的话)如何,仅仅与f(x,y)在直线y=y上的值有关,从f,(x0y)绝对 得不到函数在上述直线以外其他点处的任何结论 0或 0 考察函数∫(x,y)= 0 其他 af 显然(x)在(0,0)点处两个偏导数az|o0’ay0 存在且为零,但∫(x,y)在该点 不连续因为两个偏导数存在只是描述了f(x,y)在(0,0)点沿x轴及y轴方向的变化率,丝 毫不能保证f(x,y)在(0,0)点连续,事实上,在(0,0)点的任一邻域内总有使f(x,y) f(0,0)=1的点 考察函数h(x,y)=yx+yy,显然h(x,y)在点(0,0)连续,但h(0.0)=im h(0+△x,0)-h(0,0)=imaz=∞,不存在, 可见,连续与偏导数存在不能相互推出,故正确答案应是D 上例中,通过对典型例子的研究使我们排除了A,B,C,从而作出正确的选择.因此,在 学习高等数学的过程中,一方面要下功夫全面系统地掌握基本理论,另一方面应尽量地多记 一些具有启发性的典型例题.这样,在分析问题解决问题时,就会感到“胸中有全局,手中有 典型” 作为练习,请读者作如下两项工作 1)在研读教材中的有关理论后,自己独立证明:z=f(x,y)的极限连续、偏导数、可 微以及偏导数连续有如下关系: f(x,y)连续→f(x,y)极限存在 击连续一f(x,)可檄 f(x,y)的偏导数存在 (2)举反例证明