第77讲多元函数微分法(3) 313 八xy)的极限存在~几xy)连续 八(xy)可微→ 连续 (xy)有偏导数 (其中,符号A→B表示由条件A可推出结论B;符号A、B表示由A不一定可推出B.) 例5(是非题)下面的解法是否正确?为什么? (1)设w=f(x,y,x)=√x2+y2+z2,则有 可f ar ax x2+y2+ (2)设a=f(x,y,z)=√x2+y2+z,且y=x2,则有 x2+y2+z√x2+x2z+z (3)设z=f[gx,y),x,y],记t=y(x,y),则有 可f,」f,女 ar away 解首先应注意到:在=f(x,y,x)中,是将x,y,z都视为自变量时,仅对第一个 变量x求导数,而是无论在=f(x,y,)中,x,y,z之间是否存在函数关系,是函数a 对自变量x偏导数.因此, ()若x,y,z互相独立,即x,y,z均是自变量,则=a (i)若x,y,z之间存在函数关系时,一般≠a 据上述分析知:(1)是正确的,(2)的解法是不对的,正确的解法是: ar y afaf ay arar ay ar√x2+y2+z√x2+y2+ (3)的解法是正确的,因为充分注意到了与是不同的:是复合函数z f[以x,y),x,y]对自变量x的偏导数求分时,[x,y),x,y]中的y看成常数;而是函 数f(x,x,y)对第二个中间变量x的偏导数,求团时,f(x,x,y)中的第一个中间变量a和第 三个中间变量y都看成常数与也有类似的区别 例6(问答题)若x0为f(x,y)的极值点,点(x,y)是否为z=f(x,y)的极值点? 答:不一定 如图77-1的双曲曲面z= +y2的图像,由于其状像一个马鞍,也称为鞍形曲面.原 x2+y2, z=-x2+y2, 点既是曲线 的最高点,又是曲线 x=0 的最低点,即x。=0为 f(x,0)=-x2的极大值点,y=0是f(0,y)=y2的极小值点,显然点(0,0)不是f(x,y x2+y2的极值点 它们的一般关系是: f(x,y)在点(x0,y)取得极大(小)值→f(x,y)和f(x,y)分别在y和x。点取得极