年的一封信中,他请求 Taurinus对他所透露的“异端见解 保密.Gaus甚至到Haz山中测量由 Inselberg, Brocken和 Hoher Hagen三点组成的三角形1,看它的三内角之和是否 为180°!(的确是180°).然后在1832年,Gaus收到他的朋 友 Wolfgang Bolyai的一封信,信中描述了他的儿子(…个奧 地利军官) Janos bolyai(1802-1860)所发展的非欧几何 随后他又获悉喀山的教授 Nikolai Ivanovich Lobachevski (1793-1856在1826年得到了类似结果 Gεus,;B6lyai和 Lobachevski各自独立地发现了按现代 术语所称的二维负常曲率空间.这种空间至今仍然很有意 义;在关于宇宙学的一章中我们将看到我们实际生活的空间 是三维常抽率空间.但是对于它的发现者们来说,新几何学 的重要之处是:它描述的无限二维空间中,所有的 Euclid 假设—除第五公设之外—全都满足!在这一点上它是唯 的,这也许可以说明非欧几何在德国、奥地利和俄国或多 或少是独立地被发现的原因.(球面也满足没有第五公设的 Ecld几何形状,但它既然是有限的,就没有平行线的地位) 在第十三章中讨论对称空间时我们会清楚:负常曲率二维空 间不能实现为通常三维 Euclid空间中的曲面,这无疑是历时 两千年才发现它的原因。当然它也破坏了由 Proclus,wai和 Legendre所提出的对于 Euclid第五公设的各种“常识性”说 法,也就是说,在这种空间里,通过给定点可以作无限多条直 线平行于任一给定直线;没有大小不同的相似图形;以及任意 三角形三内角之和小于I80° 然而,还留下一个悬而未决的可能性: Euclid第五公设 可否由其它公设导出,因为Gaus,;B6lyai和 Lobachevski的几 何没有逻辑矛盾完全不是显然的,“证明”一个数学公设体系 自洽的通常方法就是从一致性(暂时)不成问题的其它体 4·