Giordano Vitale(1633-1711), John Wallis (1616--1703) Geralamo Saccheri (l667-1733), Johann Heinrich Lambert (1728-1777)和 Adrien Marie Legendre(1752-1833).亳无 例外,他们的结果只是做到用另一个等效的公设来代替这个 第五公设,作为替换的那个公设或许看来较为明显或许看来 更不明显。但在任何情况下,它都不能由 Enclid的其它公设 证明出来.例如,雅典的新柏拉图主义者 Proclus提出了作为 替换的公设是:“若一直线与两条平行线之一相交,那它必与 另一条也相交”。(也就是,若我们将平行线定义为延长到不 论多远也不相交的直线,那么通过任一给定点只能作一条直 线平行于一给定直线)牛津的Svi讲座教授 John Wallis 证明了 Euclid第五公设可由一个等效的命题来代替:“给定任 图形,总存在着按任一比例与之柏似的图形,而 Legendre 证明了第五公设与下列命题等效:“存在着三内角之和等于 两直角的三角形州 到十八世纪,为取消 Euclid第五公设所作的尝试开始转 变方向.1733年,耶稣会会员 Gerolamo, Saccheri发表了一篇 论文,对第五公设若不真则几何学将为如何的问题作了详尽 的研究他特别考察了他称之为“锐角假说”的结论,这假说就 是:“给定一直线,可以作出它的一条垂线和与它成锐角的另 条直线,并使这两条线互不相交.则然而, Saccheri并不真 正认为这是可能的;他仍然相信第五公设的逻辑必然性;而他 探讨非欧几何,只是期待最终会得出逻辑上的矛盾 Lambert 和 Legendre开始关于非欧几何的类似的尝试性探讨 看来,直到 Carl Friedrich Gauss(1777-1855)才第一次 敢于认为非欧几何是逻辑上可能的,从1799年直到184年, 他在给W. Bolyai,Obes, Schumacher, Gerling, Taurinus和 Bese的一系列信件中闻记录了他逐步看清的过程,在1824