。1052· 北京科技大学学报 第29卷 入1=arccos +13-1+1-2l1l4cos01 (4) y(x,z)= 合(9，-中)2 (10) 2hJ77+1-211l40os01 lisin 01 式中，w为加权系数.这里，取=1. B1=arccot 7-hsin0 (5) 显然，该质量特性具有望小特性9，可取目标 而连杆理想角位移可以表示为： 函数为： 4=f(0i),i=23,,9 (6) L(y)=E(y(x,z))+BVary(x,z))(11) 式中，B为考虑质量特性的均值与方差的数量级而 于是，连杆在各点的运动误差可以表示为： 选取的加权系数.这里，取B=1. 0(01i)=9,-,= 2.3建立约束条件 (入-月)-（入1-β1）-f(01),=23.…,9(7) 按对四杆机构的一般要求，建立曲柄存在及最 上式中，入、3、入1、B1分别由式(2)~(5)计算，01i、 小传动角要求等约束条件g:(x,z)≤0(i=1,2,, 4:分别由表1给出. 5),这里不再详述.因质量特性目标值y0=0,于 是建立质量特性均值要求 2稳健数学模型 g6(x,z)=E(y(x,z))S0 (12) 21确定设计变量及噪声因素 其中，e为足够小的正数.这里，取e=104. 由上面的分析可知，该机构设计参数有11、12、 2.4数学模型的建立 l3、14和01.但由于机架尺寸14及其容差△14己由 综上所述，建立连杆角位移再现机构变容差稳 装配条件给定，故可控参数只有l1、12、13和1.设 健设计模型为： 各构件尺寸的制造允差采用对称分布形式，分别为 x=7,72,73,01,△l1,△l2,△13)'= 士△11、士△12和士△3,01只有名义值，没有制造误 (x1,x2,x7)' 差，则可取各杆长的名义值及制造允差为设计变量， min E(y(x,z))+BVarty(x,z)) 表示为： s.t.g(x,z)+△g(x,z)≤0，i=1,2,…,5 x=(71,72,73,01,△11，△l2,△l3)'= E(y (x,z))0 (xx2,x7) (8) x≤≤xU 由于连杆尺寸4和土△14已由题中给定，且 (13) 士△14由14确定，取它们为噪声因素.根据题意，本 式中，x、x"分别为设计变量的下限和上限. 例不再考虑其他噪声因素，而将这些噪声因素的影 3设计结果与分析 响计入构件尺寸的随机变化中.则： z=14 (9) 本文采用随机模拟法进行求解.编写相应的模 该噪声因素为尺寸参数，服从正态分布列.按 型和数据文件，并利用文献[5中的算法程序进行计 “36”原则取。=3=Q008,可表示为 算.各设计变量的初值、离散增量以及上下界的选 取见表2，设计所得方案见表3.根据设计结果，将 14-N(100.0.008). 本方案与文献3]和文献[4中的设计结果在各个点 2.2确定质量特性指标及目标函数 上的运动误差分别进行计算，结果列于表4中.从 根据前面的运动分析，可取连杆在各点再现的 比较中可以看出，在误差等级基本相同的情况下，本 实际角位移与理想角位移之差的平方和，作为连杆 文的设计方案具有更大的设计变量容差，因而在保 角位移再现机构稳健设计的质量特性指标.于是 证机构运动质量及其稳健性的同时，可以提高机构 有： 的可制造性，从而降低制造成本， 表2设计变量的初值，离散增量及上下界值 Table 2 Initial value discrete increment.lower and upper limits of design variables 设计变量 x(1)/mm x2(12)/mm x3(4)/mm r4(0/) x(△l1)/mmx6(△l2)/mmx(△l3)/mm 初值 50 77 110 120 Q021 0028 0.035 离散增量 Q010 Q010 0010 Q010 0005 0005 0005 上界 60 85 120 130 050 050 050 下界 40 65 100 110 001 001 0.01λ1 =arccos l 2 1 +l 2 2 -l 2 3 +l 2 4 -2l 1 l 4cosθ1 2 l 2 l 2 1 +l 2 4 -2 l 1 l 4cosθ1 (4) β1 =arccot l 1sin θ1 l 4 -l1sinθ1 (5) 而连杆理想角位移可以表示为 : ψ1i =f(θ1i), i =2 , 3 , …, 9 (6) 于是 ,连杆在各点的运动误差可以表示为: δi(θ1 i)=ψ′1i -ψ1i = (λi -βi)-(λ1 -β1)-f(θ1i), i =2 , 3 , … , 9 (7) 上式中, λi 、βi 、λ1 、β1 分别由式(2)～ (5)计算 , θ1i 、 ψ1i分别由表 1 给出 . 2 稳健数学模型 2.1 确定设计变量及噪声因素 由上面的分析可知, 该机构设计参数有 l 1 、l 2 、 l 3 、l 4 和 θ1 .但由于机架尺寸 l 4 及其容差 Δl 4 已由 装配条件给定 ,故可控参数只有 l 1 、l 2 、l 3 和 θ1 .设 各构件尺寸的制造允差采用对称分布形式, 分别为 ±Δl 1 、±Δl 2 和 ±Δl3 , θ1 只有名义值, 没有制造误 差,则可取各杆长的名义值及制造允差为设计变量 , 表示为: x =(l - 1 , l - 2 , l - 3 , θ1 ,Δl 1 ,Δl 2 ,Δl 3)′= (x 1 , x 2 , … , x7)′ (8) 由于连杆尺寸 l4 和 ±Δl 4 已由题中给定, 且 ±Δl 4由 l 4 确定 ,取它们为噪声因素.根据题意, 本 例不再考虑其他噪声因素, 而将这些噪声因素的影 响计入构件尺寸的随机变化中 .则: z =l 4 (9) 该噪声因素为尺寸参数 , 服从正态分布 [ 9] .按 “ 3σ” 原 则, 取 σ = Δl 4 3 = 0.008 , 可 表 示 为 l 4 ～ N(100 , 0.008 2). 2.2 确定质量特性指标及目标函数 根据前面的运动分析, 可取连杆在各点再现的 实际角位移与理想角位移之差的平方和, 作为连杆 角位移再现机构稳健设计的质量特性指标 .于是 有: y(x , z)= ∑ 9 i =2 ωi(ψ′1 i -ψ1 i) 2 (10) 式中, ωi 为加权系数 .这里, 取 ωi =1 . 显然 ,该质量特性具有望小特性[ 5] , 可取目标 函数为 : L(y)=E{y(x , z)}+βVar{y(x , z)} (11) 式中, β 为考虑质量特性的均值与方差的数量级而 选取的加权系数.这里,取 β =1 . 2.3 建立约束条件 按对四杆机构的一般要求, 建立曲柄存在及最 小传动角要求等约束条件 gi(x , z)≤0(i =1 , 2 , …, 5) [ 5] , 这里不再详述 .因质量特性目标值 y 0 =0 ,于 是建立质量特性均值要求 g6(x , z)=E{y(x , z)}-ε≤0 (12) 其中, ε为足够小的正数.这里 ,取 ε=10 -4 . 2.4 数学模型的建立 综上所述 ,建立连杆角位移再现机构变容差稳 健设计模型为: x =(l - 1 , l - 2 , l - 3 , θ1 , Δl 1 , Δl 2 , Δl 3)′= (x 1 , x 2 , …, x 7)′ min E{y(x , z )}+βVar{y(x , z)} s .t .gi(x , z)+Δgi(x , z )≤0 , i =1 , 2 , … , 5 E{y(x , z)}-ε≤0 x -L ≤x ≤x -U (13) 式中, x -L 、x - U 分别为设计变量的下限和上限 . 3 设计结果与分析 本文采用随机模拟法进行求解.编写相应的模 型和数据文件,并利用文献[ 5] 中的算法程序进行计 算 .各设计变量的初值 、离散增量以及上下界的选 取见表 2 , 设计所得方案见表 3 .根据设计结果, 将 本方案与文献[ 3] 和文献[ 4] 中的设计结果在各个点 上的运动误差分别进行计算 ,结果列于表 4 中 .从 比较中可以看出, 在误差等级基本相同的情况下 ,本 文的设计方案具有更大的设计变量容差 , 因而在保 证机构运动质量及其稳健性的同时, 可以提高机构 的可制造性 ,从而降低制造成本 . 表 2 设计变量的初值、离散增量及上下界值 Table 2 Initial value, discrete increment , lower and upper limits of design variabl es 设计变量 x1(l 1)/ mm x2(l 2)/mm x 3(l3)/ mm x 4(θ1)/(°) x5(Δl 1)/ mm x6(Δl 2)/ mm x 7(Δl 3)/mm 初值 50 77 110 120 0.021 0.028 0.035 离散增量 0.010 0.010 0.010 0.010 0.005 0.005 0.005 上界 60 85 120 130 0.50 0.50 0.50 下界 40 65 100 110 0.01 0.01 0.01 · 1052 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 29 卷