3.3集合的运算 51· 台(x走A)∧(x在B) ÷(x∈~A)A(x∈~B) 台x∈(~A∩NB) 所以，~(AUB)=~A∩~B 例3.3利用恒等代换的方法证明吸收律。 证明：AU(A∩B) =(A∩E)U(A∩B) =A∩(EUB) =A∩E =A 由同一律、分配律、零律等恒等式证明了吸收律第一式.用同样的方法可证吸收律第二 式，即A∩(AUB)=A. 除了以上集合等式以外，还有一些关于集合运算性质的重要结果 (14)A∩B≤A,A∩B≤B. (15)A∈AUB,B≤AUB (16)A-B≤A. (17)AB÷A∩B=A÷AUB=B÷A-B=0. 3.3.3例题 例3.4证明A-(B-C)=(A-B)U(A∩C) 证明：方法一.对于任意的x,有 x∈A-(B-C) ÷x∈A∧x生(B∩C) 台x∈AAx∈~(B∩~C) 台x∈A∧x∈(~BUC) 台x∈A∧(x∈BVx∈C) ÷x∈A∧(x生BVx∈C) 台(x∈AAx年B)V(x∈AAx∈C) 台x∈(A-B)U(A∩C) 所以，A-(B-C)=(A-B)U(A∩C) 方法二 A-(B-C) =A∩~(B∩~C) =A∩(~BUC) =(A∩~B)U(A∩C) =(A-B)U(A∩C) 例3.5设集合A、B满足条件A∩B=a,AUB=E,证明A=~B.3.3 集合的运算 · 51 · ⇔ (x /∈ A) ∧ (x /∈ B) ⇔ (x ∈∼ A) ∧ (x ∈∼ B) ⇔ x ∈ (∼ A T ∼ B) 所以, ∼ (A S B) =∼ A T ∼ B. 例 3.3 利用恒等代换的方法证明吸收律. 证明：A S (A T B) = (A T E) S (A T B) = A T (E S B) = A T E = A 由同一律、分配律、零律等恒等式证明了吸收律第一式. 用同样的方法可证吸收律第二 式, 即 A T (A S B) = A. 除了以上集合等式以外, 还有一些关于集合运算性质的重要结果. (14) A T B ⊆ A, A T B ⊆ B. (15) A ⊆ A S B, B ⊆ A S B. (16) A − B ⊆ A. (17) A ⊆ B ⇔ A T B = A ⇔ A S B = B ⇔ A − B = ∅. 3.3.3 例题 例 3.4 证明 A − (B − C) = (A − B) S (A T C). 证明：方法一. 对于任意的 x, 有 x ∈ A − (B − C) ⇔ x ∈ A ∧ x /∈ (B T ∼ C) ⇔ x ∈ A ∧ x ∈∼ (B T ∼ C) ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ (∼ B S C) ⇔ x ∈ A ∧ (x ∈∼ B ∨ x ∈ C) ⇔ x ∈ A ∧ (x /∈ B ∨ x ∈ C) ⇔ (x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C) ⇔ x ∈ (A − B) S (A T C) 所以, A − (B − C) = (A − B) S (A T C). 方法二. A − (B − C) = A T ∼ (B T ∼ C) = A T (∼ B S C) = (A T ∼ B) S (A T C) = (A − B) S (A T C) 例 3.5 设集合 A、B 满足条件 A T B = ∅, A S B = E, 证明 A =∼ B