·52 第3章集合论 证明：A=A∩E =A∩(BU~B) =(A∩B)U(A∩~B) =gU(A∩~B) =(B∩~B)U(A∩~B) =(BUA)∩~B =E∩~B =B 利用恒等代换不仅可以证明集合等式，还可以化简集合表达式. 例3.6化简下列集合表达式. (1)(B-(A∩C)U(A∩B∩C). (2)(AUBUC)∩(AUB)-(AUB-C)∩A). 解：(1)(B-(A∩C)U(A∩B∩C) =(B∩(A∩C)U(B∩(A∩C) =B∩(~(A∩C)UA∩C) =B∩E =B (2)因为AUB≤AUBUC,A≤AU(B-C),则有 (AUBUC)∩(AUB)-(AU(B-C)∩A) =(AUB)-A =(4UB)∩~A =(A∩~A)U(B∩~A) =gUB∩~A) =B-A 3.4 包含排斥原理 定义3.11设集合A={a1,a2,,an},它有n个不同元素，则称集合A的基数是n, 记作CardA=n或|Al=n. 基数是表示集合中所含元素多少的量.如果集合A的基数是n,这时称A为有限集.显 然，空集的基数是0，即|@=0.如果A不是有限集，则称A为无限集 现实生活中，经常会遇到对集合中的元素进行计数的问题，下面讨论的包含排斥原理是 个广泛使用的计数原理，可用来处理集合间含有公共元素的情况. 定理3.2（包含排斥原理）设A、B为有限集合，则 I4UB=|4+IB-A∩B 包含与排斥原理也称为容斥原理· 52 · 第 3 章 集 合 论 证明：A = A T E = A T (B S ∼ B) = (A T B) S (A T ∼ B) = ∅ S (A T ∼ B) = (B T ∼ B) S (A T ∼ B) = (B S A) T ∼ B = E T ∼ B =∼ B 利用恒等代换不仅可以证明集合等式, 还可以化简集合表达式. 例 3.6 化简下列集合表达式. (1) (B − (A T C)) S (A T B T C). (2) ((A S B S C) T (A S B)) − ((A S (B − C) T A). 解：(1) (B − (A T C)) S (A T B T C) = (B T ∼ (A T C)) S (B T (A T C)) = B T (∼ (A T C) S (A T C)) = B T E = B (2) 因为 A S B ⊆ A S B S C, A ⊆ A S (B − C), 则有 ((A S B S C) T (A S B)) − (A S (B − C) T A) = (A S B) − A = (A S B) T ∼ A = (A T ∼ A) S (B T ∼ A) = ∅ S (B T ∼ A) = B − A 3.4 包含排斥原理 定义 3.11 设集合 A = {a1, a2, , an}, 它有 n 个不同元素, 则称集合 A 的基数是 n, 记作 CardA = n 或 |A| = n. 基数是表示集合中所含元素多少的量. 如果集合 A 的基数是 n, 这时称 A 为有限集. 显 然, 空集的基数是 0, 即 |∅| = 0. 如果 A 不是有限集, 则称 A 为无限集. 现实生活中, 经常会遇到对集合中的元素进行计数的问题, 下面讨论的包含排斥原理是 一个广泛使用的计数原理, 可用来处理集合间含有公共元素的情况. 定理 3.2 (包含排斥原理) 设 A、B 为有限集合, 则 |A S B| = |A| + |B| − |A T B| 包含与排斥原理也称为容斥原理