刘晓峰等：基于虚拟材料复模量非均匀分布的螺栓连接薄板结构半解析建模 847… (Od.xEd.x+dyEd.y+Td.xyYd.ry)dVd+ 2川∬o22+2,2+r2w 号店 n产帝 (9) 式中：0x,,t,j=1,d,2,分别表示板1未搭 wo(化，y,t)=W(x,y)eiwr (13) 接部分、搭接部分、板2未搭接部分任一点的正应 式中，W(x,y)表示横向位移幅值，ω表示模型的激 力及剪应力；ex,e,y,j=1,d,2,分别表示板 振频率. 1未搭接部分、搭接部分、板2未搭接部分任一点 螺栓连接薄板结构中面的振动幅值可以表 的正应变及剪应变；V,Va和V2分别为板1未搭接 示为 部分、搭接部分、板2未搭接部分的体积.其中， R 变量D1,D2和D3表示为 W(a,)兰 crsPr(@)P:(B) (14) =1=l E D1=1- (10a) 式中，a=x儿，B=y/b,R和S为实际计算时考虑的多 项式数量，通常取R=S,cs为待定的参数.P(a)和 Eμ D2=1-2 (10b) P(B)为特征正交多项式，对应于不同的边界条件， D3=4G 有不同的迭代求解公式.其中对于悬臂状态，可用 (10e) 下面的公式进行迭代求解 变量D1d,D2a和D3d表示为 E P1(a)=a2,P1(B=1, D1d=1-62 (11a) P2()=(G-B2)P1(G), (15) P(5)=(5-Bk)PR-1(5)-QkPk-2(5). D2d= Eaua (11b) 1-a2 L=a,B,k>2 D3d=4Gd (11c) 式中： 式中：4，a分别为未搭接部分和搭接部分的泊松 BSIP-fds (16a) 比，E,G分别为未搭接部分的储能模量和剪切模 [PR-1(OT d 量，G为搭接部分的复剪切模量 模型的动能可表示为 =P- (16b) r-信a*( IP-2(O1ds dxdy+ 将式(14)分别代入到式(9)和式(12)中，得到 罗 用正交多项式描述的螺栓连接薄板结构的应变能 (12) 及动能表达式.另设L=T-U,利用如下拉格朗日 式中，p和Pu分别为未搭接部分和搭接部分的材料 方程 密度 d aLaL =0.r=1,23,R dt aers acrss=1,2,3,....S (17) 2.2螺栓连接薄板结构振动特性求解 假设自由状态下螺栓连接薄板结构中面横向 可获得螺栓连接薄板结构的自由振动方程，表达为 位移wo(x,y,)做简谐运动，可表示为 (K-w2M0c=0 (18)U = 1 2 y V1 (σ1,xε1,x +σ1,yε1,y +τ1,xyγ1,xy)dV1 + 1 2 y Vd (σd,xεd,x +σd,yεd,y +τd,xyγd,xy)dVd+ 1 2 y V2 (σ2,xε2,x +σ2,yε2,y +τ2,xyγ2,xy)dV2 = δ 3 24 w l1 0 w b 0    D1   ( ∂ 2w ∂x 2 )2 + ( ∂ 2w ∂y 2 )2   +2D2 ∂ 2w ∂x 2 ∂ 2w ∂y 2 + D3 ( ∂ 2w ∂x∂y )2    dxdy+ δ 3 3 w l2 l1 w b 0    D1d   ( ∂ 2w ∂x 2 )2 + ( ∂ 2w ∂y 2 )2   +2D2d ∂ 2w ∂x 2 ∂ 2w ∂y 2 + D3d( ∂ 2w ∂x∂y )2    dxdy+ δ 3 24 w l l2 w b 0    D1   ( ∂ 2w ∂x 2 )2 + ( ∂ 2w ∂y 2 )2   +2D2 ∂ 2w ∂x 2 ∂ 2w ∂y 2 + D3 ( ∂ 2w ∂x∂y )2    dxdy （9） σj,x σj,y τj,xy j = 1,d,2 εj,x εj,y γj,xy j = 1,d,2 V1 Vd V2 D1 D2 D3 式中： ， ， ， ，分别表示板 1 未搭 接部分、搭接部分、板 2 未搭接部分任一点的正应 力及剪应力； ， ， ， ，分别表示板 1 未搭接部分、搭接部分、板 2 未搭接部分任一点 的正应变及剪应变； ， 和 分别为板 1 未搭接 部分、搭接部分、板 2 未搭接部分的体积. 其中， 变量 ， 和 表示为 D1 = E 1−µ 2 （10a） D2 = Eµ 1−µ 2 （10b） D3 = 4G （10c） 变量 D1d，D2d 和 D3d 表示为 D1d = E ∗ d 1−µd 2 （11a） D2d = E ∗ d µd 1−µd 2 （11b） D3d = 4G ∗ d （11c） µ µd G G ∗ d 式中： ， 分别为未搭接部分和搭接部分的泊松 比 ，E， 分别为未搭接部分的储能模量和剪切模 量， 为搭接部分的复剪切模量. 模型的动能可表示为 T = ρδ 2 w l1 0 w b 0 ( dw dt )2 dxdy+ρdδ w l2 l1 w b 0 ( dw dt )2 dxdy+ ρδ 2 w l l2 w b 0 ( dw dt )2 dxdy （12） 式中， ρ 和 ρd 分别为未搭接部分和搭接部分的材料 密度. 2.2    螺栓连接薄板结构振动特性求解 w0(x, y,t) 假设自由状态下螺栓连接薄板结构中面横向 位移 做简谐运动，可表示为 w0(x, y,t) = W(x, y)eiωt （13） 式中， W(x, y) 表示横向位移幅值，ω 表示模型的激 振频率. 螺栓连接薄板结构中面的振动幅值[25] 可以表 示为 W(α, β)  ∑ R r=1 ∑ S s=1 crsPr(α)Ps(β) （14） α = x/l β = y/b R S R = S crs Pr(α) Ps(β) 式中， ， ， 和 为实际计算时考虑的多 项式数量，通常取 ， 为待定的参数. 和 为特征正交多项式，对应于不同的边界条件， 有不同的迭代求解公式. 其中对于悬臂状态，可用 下面的公式进行迭代求解    P1(α) = α 2 ,P1(β) = 1, P2(ζ) = (ζ − B2)P1(ζ), Pk(ζ) = (ζ − Bk)Pk−1(ζ)− QkPk−2(ζ), ζ = α, β, k > 2 （15） 式中： Bk = r 1 0 [ Pk−1(ζ) ]2 ζdζ r 1 0 [ Pk−1(ζ) ]2 dζ （16a） Qk = r 1 0 Pk−1(ζ)Pk−2(ζ)ζdζ r 1 0 [ Pk−2(ζ) ]2 dζ （16b） L = T −U 将式（14）分别代入到式（9）和式（12）中，得到 用正交多项式描述的螺栓连接薄板结构的应变能 及动能表达式. 另设 ，利用如下拉格朗日 方程 d dt ∂L ∂c˙rs − ∂L ∂crs = 0, ( r = 1,2,3,··· ,R s = 1,2,3,··· ,S ) （17） 可获得螺栓连接薄板结构的自由振动方程，表达为 (K ∗ −ω 2M)c = 0 （18） 刘晓峰等： 基于虚拟材料复模量非均匀分布的螺栓连接薄板结构半解析建模 · 847 ·