工程科学学报 Chinese Journal of Engineering 基于虚拟材料复棋量非均匀分布的螺栓连接薄板结构半解析建模 刘晓峰孙伟孙悦 Semianalytical modeling of a bolted thin plate structure based on nonuniform distributions of the complex modulus of a virtual material LIU Xiao-feng,SUN Wei,SUN Yue 引用本文： 刘晓峰，孙伟，孙悦.基于虚拟材料复模量非均匀分布的螺栓连接薄板结构半解析建模).工程科学学报，2021,43(6)：843- 851.doi10.13374j.issn2095-9389.2020.04.20.005 LIU Xiao-feng,SUN Wei,SUN Yue.Semianalytical modeling of a bolted thin plate structure based on nonuniform distributions of the complex modulus of a virtual material[J].Chinese Journal of Engineering,2021,43(6):843-851.doi:10.13374/j.issn2095- 9389.2020.04.20.005 在线阅读View onlines:htps/ldoi.org10.13374/.issn2095-9389.2020.04.20.005 您可能感兴趣的其他文章 Articles you may be interested in 裂缝网络支撑剂非均匀分布对开采动态规律的影响 Effect of uneven distribution of proppant in fracture network on exploitation dynamic characteristics 工程科学学报.2020.42(10：1318htps:doi.org/10.13374.issn2095-9389.2019.10.23.001 基于均匀化理论的复合材料安定性分析方法 Shakedown analysis method for composites based on homogenization theory 工程科学学报.2019,41(12：1558 https:/1doi.org/10.13374.issn2095-9389.2019.01.06.001 混合选别过程半实物仿真系统 A hardware-in-the-loop simulation system for the mixed separation process 工程科学学报.2017,399外1412 https:/loi.org10.13374.issn2095-9389.2017.09.015 非晶半导体薄膜用Te系化合物靶材制备 Preparation of Te-based compound target for amorphous semiconductor thin film 工程科学学报.2019,41(2：224 https:ldoi.org10.13374.issn2095-9389.2019.02.009 高碱度烧结矿矿旷相结构分布模式及形成机理 Distribution patterns and formation mechanisms of the mineralogical structure of high basicity sinter 工程科学学报.2019,41(2)181 https::doi.org/10.13374.issn2095-9389.2019.02.004 半连续铸造7136超高强铝合金的组织特征及均匀化处理工艺 Microstructure and homogenization process of semi-continuous casting 7136 ultra high-strength aluminum alloy 工程科学学报.2019,41(7)：914htps:/1doi.org10.13374.issn2095-9389.2019.07.010
基于虚拟材料复模量非均匀分布的螺栓连接薄板结构半解析建模 刘晓峰 孙伟 孙悦 Semianalytical modeling of a bolted thin plate structure based on nonuniform distributions of the complex modulus of a virtual material LIU Xiao-feng, SUN Wei, SUN Yue 引用本文: 刘晓峰, 孙伟, 孙悦. 基于虚拟材料复模量非均匀分布的螺栓连接薄板结构半解析建模[J]. 工程科学学报, 2021, 43(6): 843- 851. doi: 10.13374/j.issn2095-9389.2020.04.20.005 LIU Xiao-feng, SUN Wei, SUN Yue. Semianalytical modeling of a bolted thin plate structure based on nonuniform distributions of the complex modulus of a virtual material[J]. Chinese Journal of Engineering, 2021, 43(6): 843-851. doi: 10.13374/j.issn2095- 9389.2020.04.20.005 在线阅读 View online: https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.04.20.005 您可能感兴趣的其他文章 Articles you may be interested in 裂缝网络支撑剂非均匀分布对开采动态规律的影响 Effect of uneven distribution of proppant in fracture network on exploitation dynamic characteristics 工程科学学报. 2020, 42(10): 1318 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.10.23.001 基于均匀化理论的复合材料安定性分析方法 Shakedown analysis method for composites based on homogenization theory 工程科学学报. 2019, 41(12): 1558 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.01.06.001 混合选别过程半实物仿真系统 A hardware-in-the-loop simulation system for the mixed separation process 工程科学学报. 2017, 39(9): 1412 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2017.09.015 非晶半导体薄膜用Te系化合物靶材制备 Preparation of Te-based compound target for amorphous semiconductor thin film 工程科学学报. 2019, 41(2): 224 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.02.009 高碱度烧结矿矿相结构分布模式及形成机理 Distribution patterns and formation mechanisms of the mineralogical structure of high basicity sinter 工程科学学报. 2019, 41(2): 181 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.02.004 半连续铸造7136超高强铝合金的组织特征及均匀化处理工艺 Microstructure and homogenization process of semi-continuous casting 7136 ultra high-strength aluminum alloy 工程科学学报. 2019, 41(7): 914 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.07.010
工程科学学报.第43卷，第6期：843-851.2021年6月 Chinese Journal of Engineering,Vol.43,No.6:843-851,June 2021 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.04.20.005;http://cje.ustb.edu.cn 基于虚拟材料复模量非均匀分布的螺栓连接薄板结构 半解析建模 刘晓峰12)，孙伟2)区，孙悦12 1)东北大学机械工程与自动化学院.沈阳1108192)东北大学航空动力装备振动及控制教育部重点实验室，沈阳110819 ☒通信作者，E-mail:weisun(@mail.neu.edu.cn 摘要基于非均匀分布的虚拟材料模拟螺栓连接薄板搭接部分的力学特性，其中虚拟材料的材料参数用复模量表示，可直 接生成复刚度矩阵以表示搭接部分的刚度及阻尼特性，省却了常规建模中生成结合部阻尼矩阵的步骤，在保证模型精确性的 基础上简化了建模流程，以此建立了螺栓连接薄板结构的半解析模型并对其进行了动力学分析.首先描述了建模理念，将虚 拟材料分别假定了三种复模量非均匀分布形式模拟螺栓搭接部分的力学特性，提出用反推辨识技术确定虚拟材料储能模量 与耗能模量的方法.接着，基于能量法并用正交多项式假定模态，推导了螺栓连接薄板的半解析分析模型，并创新性地给出 了求解半解析模型任意锤击点与拾振点处频响函数的公式.最后，以一个具体的螺栓连接薄板结构为对象进行了实例研究， 结果表明：用所创建的半解析模型计算出的各阶仿真固有频率与实验测得的各阶固有频率的误差均在5%以内，计算得到的 各阶仿真模态振型以及频响函数曲线与实测值均较为接近，从而证明了利用复模量非均匀分布的虚拟材料模拟螺栓搭接部 分可有效简化螺栓结合部建模，亦可达到较高的仿真计算精度 关键词虚拟材料：复模量：非均匀分布：螺栓连接薄板：半解析建模 分类号TH131.3:0327 Semianalytical modeling of a bolted thin plate structure based on nonuniform distributions of the complex modulus of a virtual material LIU Xiao-feng2),SUN We2,SUN Yue2 1)School of Mechanical Engineering&Automation,Northeastem University,Shenyang 110819,China 2)Key Laboratory of Vibration and Control of Aero-Propulsion Systems,Ministry of Education of China,Northeastern University,Shenyang 110819, China Corresponding author,E-mail:weisun@mail.neu.edu.cn ABSTRACT The simulation of bolt joints affects the analysis accuracy of the dynamic characteristics of the whole structure in the dynamic modeling of bolted connection structures.In this study,the mechanical properties of the bolted thin-plate lap joint were simulated based on a nonuniformly distributed virtual material.The parameters of the virtual material were expressed based on a complex modulus,and the complex stiffness matrix can be directly generated to express the stiffness and damping characteristics of the lap joint.The steps used to generate a joint damping matrix in conventional modeling were omitted,and the modeling process was simplified to ensure model accuracy.We established a semianalytical model of a bolted thin plate structure to enable its dynamic analysis.In this study,we first described the modeling concept.The virtual material was assumed to have three types of nonuniform complex modulus distributions to simulate the mechanical properties of the bolted lap joint.We proposed a method for determining the 收稿日期：2020-04-20 基金项目：中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(N180312012)
基于虚拟材料复模量非均匀分布的螺栓连接薄板结构 半解析建模 刘晓峰1,2)，孙 伟1,2) 苣，孙 悦1,2) 1) 东北大学机械工程与自动化学院，沈阳 110819 2) 东北大学航空动力装备振动及控制教育部重点实验室，沈阳 110819 苣通信作者，E-mail：weisun@mail.neu.edu.cn 摘 要 基于非均匀分布的虚拟材料模拟螺栓连接薄板搭接部分的力学特性，其中虚拟材料的材料参数用复模量表示，可直 接生成复刚度矩阵以表示搭接部分的刚度及阻尼特性，省却了常规建模中生成结合部阻尼矩阵的步骤，在保证模型精确性的 基础上简化了建模流程，以此建立了螺栓连接薄板结构的半解析模型并对其进行了动力学分析. 首先描述了建模理念，将虚 拟材料分别假定了三种复模量非均匀分布形式模拟螺栓搭接部分的力学特性，提出用反推辨识技术确定虚拟材料储能模量 与耗能模量的方法. 接着，基于能量法并用正交多项式假定模态，推导了螺栓连接薄板的半解析分析模型，并创新性地给出 了求解半解析模型任意锤击点与拾振点处频响函数的公式. 最后，以一个具体的螺栓连接薄板结构为对象进行了实例研究， 结果表明：用所创建的半解析模型计算出的各阶仿真固有频率与实验测得的各阶固有频率的误差均在 5% 以内，计算得到的 各阶仿真模态振型以及频响函数曲线与实测值均较为接近，从而证明了利用复模量非均匀分布的虚拟材料模拟螺栓搭接部 分可有效简化螺栓结合部建模，亦可达到较高的仿真计算精度. 关键词 虚拟材料；复模量；非均匀分布；螺栓连接薄板；半解析建模 分类号 TH131.3；O327 Semianalytical modeling of a bolted thin plate structure based on nonuniform distributions of the complex modulus of a virtual material LIU Xiao-feng1,2) ，SUN Wei1,2) 苣 ，SUN Yue1,2) 1) School of Mechanical Engineering & Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China 2) Key Laboratory of Vibration and Control of Aero-Propulsion Systems, Ministry of Education of China, Northeastern University, Shenyang 110819, China 苣 Corresponding author, E-mail: weisun@mail.neu.edu.cn ABSTRACT The simulation of bolt joints affects the analysis accuracy of the dynamic characteristics of the whole structure in the dynamic modeling of bolted connection structures. In this study, the mechanical properties of the bolted thin-plate lap joint were simulated based on a nonuniformly distributed virtual material. The parameters of the virtual material were expressed based on a complex modulus, and the complex stiffness matrix can be directly generated to express the stiffness and damping characteristics of the lap joint. The steps used to generate a joint damping matrix in conventional modeling were omitted, and the modeling process was simplified to ensure model accuracy. We established a semianalytical model of a bolted thin plate structure to enable its dynamic analysis. In this study, we first described the modeling concept. The virtual material was assumed to have three types of nonuniform complex modulus distributions to simulate the mechanical properties of the bolted lap joint. We proposed a method for determining the 收稿日期: 2020−04−20 基金项目: 中央高校基本科研业务费专项资金资助项目（N180312012） 工程科学学报，第 43 卷，第 6 期：843−851，2021 年 6 月 Chinese Journal of Engineering, Vol. 43, No. 6: 843−851, June 2021 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.04.20.005; http://cje.ustb.edu.cn
844 工程科学学报，第43卷.第6期 storage modulus and energy dissipation modulus of the virtual material using a reverse identification technique.Based on the energy method and the assumed modes of orthogonal polynomials,we derived a semianalytical model of bolted thin plates and develop an innovative formula for solving the frequency response function at any hammering point and the vibration point of the semianalytical model.Finally,we conducted a case study on a bolted thin plate structure.Results show that the deviation between the simulated natural frequencies calculated using the semianalytical model and the experimental natural frequencies are less than 5%.Further,the calculated model shapes and frequency-response-function curves are close to those obtained based on the measured values.These results prove that a virtual material with a nonuniform complex modulus distribution can effectively simplify the modeling of a bolted joint and achieve high simulation accuracy. KEY WORDS virtual material:complex modulus:nonuniform distribution:bolted thin plate:semianalytical modeling 螺栓连接由于结构简单、成本低、便于装拆 孔间隙和摩擦效应的改进弹簧法，并基于弹簧法 且具有一定可靠性而被广泛应用.现代航空发动 和有限元理论对七螺栓双搭接板进行建模，研究 机的连接结构亦多采用螺栓进行紧固连接.螺栓 了板宽、板厚、螺栓间距和间隙对载荷分布的影 连接结构相比于整体结构，其结合部处整体刚度 响.Deaner等图利用弹簧单元、粘滞阻尼单元以及 会有所下降，且该部分会产生一定的阻尼作用，两 一个四参数的Iwan单元建立了螺栓连接的双梁结 者共同作用，从而对整个结构的力学特性产生影 构模型，在一定的受力水平范围内准确的描述了 响，因此，如何有效的模拟螺栓连接结构的 结构的刚度及阻尼，李玲等9将栓接结合部刚度 结合部，对研究整个螺栓连接结构的力学特性至 等效为结合面刚度和螺栓刚度的串联，并利用 关重要 ANSYS软件建立了栓接梁结构的有限元模型.孙 近年来，很多学者致力于螺栓连接结构的力 伟等o提出采用简化的Iwan模型模拟螺栓结合 学特性研究，研究人员通常会建立精确地高保真 面之间的非线性动力学现象，从而建立了螺栓连 模型进行螺栓结合部的静力学分析.例如，Reid 接组合梁非线性解析模型 和Hiserl川采用非线性有限元分析方法，建立了螺 除上述针对螺栓结合部简化建模的方法外， 栓结合部在剪切荷载作用下单向滑动的模型，在 还有很多学者将螺栓接合部简化成一种虚拟材 一定精度上再现了物理实验中出现的力-位移滞回 料，并基于此完成螺栓连接结构的建模与分析.例 曲线.Sawa等建立了螺栓连接结构的三维有限 如，Iranzad和Ahmadian采用薄层虚拟弹塑性材 元模型，分析了考虑螺纹的螺旋应力分布和其分 料模拟螺栓连接梁结合部的接触界面，建立了完 别在循环载荷和静载荷作用下的弹塑性变形状 整的动力学模型，并利用试验数据对其参数进行 态.Lyt等1对两种圆形螺栓法兰装置进行了完 了识别.Wang和Fanl将螺栓连接梁的连接界面 整的有限元建模，可以准确地预测带有黏弹性垫 简化为虚拟材料，建立了螺栓连接梁的有限元模 圈的平面和凸起法兰组件在阀座状态下的蠕变松 型，采用刚度和阻尼随频率变化的子结构描述结 弛效应.Zhang等建立了考虑螺旋螺纹的螺栓连 合部非线性动力学行为.Zha等)提出将螺栓结 接板结构三维有限元模型，研究了其在轴向张力 合面接触部分用一种横观各向同性的虚拟材料模 作用下沿啮合螺纹的载荷传递行为.由于高保真 拟并以此建立螺栓连接板的有限元模型，并将求 模型建模复杂、耗时长，分析过程比较缓慢，尤其 解得到的模型固有频率和振型与实验结果进行比 在进行螺栓连接结构的动力学研究时高保真模型 较，验证了模型的正确性.Yang等w提出了一种 更加难以适用，因此研究者们建立了螺栓连接结 基于分形理论的虚拟材料模型并将其用于预测碳 构的简化模型以提高模型计算效率.Luan等用 纤维增强塑料复合材料螺栓连接的固有频率 线性弹簧模拟螺栓连接法兰结合部接触界面，建 Shi和Zhang提出了一种基于虚拟材料的栓接结 立了简化的螺栓连接法兰结构动力学模型，并结 合部界面参数化模型，在不同加载条件下对一个 合物理实验讨论了结构纵向振动频率与横向振动 具有螺栓连接的力学结构进行了数值仿真.Ye等s 频率的关系.Meisami等将螺栓法兰结构的结合 利用螺栓结合部基本特征参数与材料应变能的关 部和螺栓分别视为悬臂梁和弹簧，建立了一个能 系推导出虚拟材料的参数，然后利用有限元分析 反映实际结合部行为的解析模型，得到了载荷与 软件建立了包含结合部的单螺栓连接内孔圆接头 挠度之间的精确关系.Xiang等提出了一种考虑 分析模型.Zhao等7提出了一种基于表面接触应
storage modulus and energy dissipation modulus of the virtual material using a reverse identification technique. Based on the energy method and the assumed modes of orthogonal polynomials, we derived a semianalytical model of bolted thin plates and develop an innovative formula for solving the frequency response function at any hammering point and the vibration point of the semianalytical model. Finally, we conducted a case study on a bolted thin plate structure. Results show that the deviation between the simulated natural frequencies calculated using the semianalytical model and the experimental natural frequencies are less than 5%. Further, the calculated model shapes and frequency-response-function curves are close to those obtained based on the measured values. These results prove that a virtual material with a nonuniform complex modulus distribution can effectively simplify the modeling of a bolted joint and achieve high simulation accuracy. KEY WORDS virtual material；complex modulus；nonuniform distribution；bolted thin plate；semianalytical modeling 螺栓连接由于结构简单、成本低、便于装拆 且具有一定可靠性而被广泛应用. 现代航空发动 机的连接结构亦多采用螺栓进行紧固连接. 螺栓 连接结构相比于整体结构，其结合部处整体刚度 会有所下降，且该部分会产生一定的阻尼作用，两 者共同作用，从而对整个结构的力学特性产生影 响 . 因此 ，如何有效的模拟螺栓连接结构的 结合部，对研究整个螺栓连接结构的力学特性至 关重要. 近年来，很多学者致力于螺栓连接结构的力 学特性研究，研究人员通常会建立精确地高保真 模型进行螺栓结合部的静力学分析. 例如，Reid 和 Hiser[1] 采用非线性有限元分析方法，建立了螺 栓结合部在剪切荷载作用下单向滑动的模型，在 一定精度上再现了物理实验中出现的力-位移滞回 曲线. Sawa 等[2] 建立了螺栓连接结构的三维有限 元模型，分析了考虑螺纹的螺旋应力分布和其分 别在循环载荷和静载荷作用下的弹塑性变形状 态. Luyt 等[3] 对两种圆形螺栓法兰装置进行了完 整的有限元建模，可以准确地预测带有黏弹性垫 圈的平面和凸起法兰组件在阀座状态下的蠕变松 弛效应. Zhang 等[4] 建立了考虑螺旋螺纹的螺栓连 接板结构三维有限元模型，研究了其在轴向张力 作用下沿啮合螺纹的载荷传递行为. 由于高保真 模型建模复杂、耗时长，分析过程比较缓慢，尤其 在进行螺栓连接结构的动力学研究时高保真模型 更加难以适用，因此研究者们建立了螺栓连接结 构的简化模型以提高模型计算效率. Luan 等[5] 用 线性弹簧模拟螺栓连接法兰结合部接触界面，建 立了简化的螺栓连接法兰结构动力学模型，并结 合物理实验讨论了结构纵向振动频率与横向振动 频率的关系. Meisami 等[6] 将螺栓法兰结构的结合 部和螺栓分别视为悬臂梁和弹簧，建立了一个能 反映实际结合部行为的解析模型，得到了载荷与 挠度之间的精确关系. Xiang 等[7] 提出了一种考虑 孔间隙和摩擦效应的改进弹簧法，并基于弹簧法 和有限元理论对七螺栓双搭接板进行建模，研究 了板宽、板厚、螺栓间距和间隙对载荷分布的影 响. Deaner 等[8] 利用弹簧单元、粘滞阻尼单元以及 一个四参数的 Iwan 单元建立了螺栓连接的双梁结 构模型，在一定的受力水平范围内准确的描述了 结构的刚度及阻尼. 李玲等[9] 将栓接结合部刚度 等效为结合面刚度和螺栓刚度的串联 ，并利用 ANSYS 软件建立了栓接梁结构的有限元模型. 孙 伟等[10] 提出采用简化的 Iwan 模型模拟螺栓结合 面之间的非线性动力学现象，从而建立了螺栓连 接组合梁非线性解析模型. 除上述针对螺栓结合部简化建模的方法外， 还有很多学者将螺栓接合部简化成一种虚拟材 料，并基于此完成螺栓连接结构的建模与分析. 例 如，Iranzad 和 Ahmadian[11] 采用薄层虚拟弹塑性材 料模拟螺栓连接梁结合部的接触界面，建立了完 整的动力学模型，并利用试验数据对其参数进行 了识别. Wang 和 Fan[12] 将螺栓连接梁的连接界面 简化为虚拟材料，建立了螺栓连接梁的有限元模 型，采用刚度和阻尼随频率变化的子结构描述结 合部非线性动力学行为. Zha 等[13] 提出将螺栓结 合面接触部分用一种横观各向同性的虚拟材料模 拟并以此建立螺栓连接板的有限元模型，并将求 解得到的模型固有频率和振型与实验结果进行比 较，验证了模型的正确性. Yang 等[14] 提出了一种 基于分形理论的虚拟材料模型并将其用于预测碳 纤维增强塑料复合材料螺栓连接的固有频率. Shi 和 Zhang[15] 提出了一种基于虚拟材料的栓接结 合部界面参数化模型，在不同加载条件下对一个 具有螺栓连接的力学结构进行了数值仿真. Ye 等[16] 利用螺栓结合部基本特征参数与材料应变能的关 系推导出虚拟材料的参数，然后利用有限元分析 软件建立了包含结合部的单螺栓连接内孔圆接头 分析模型. Zhao 等[17] 提出了一种基于表面接触应 · 844 · 工程科学学报，第 43 卷，第 6 期
刘晓峰等：基于虚拟材料复模量非均匀分布的螺栓连接薄板结构半解析建模 845· 力的非线性虚拟材料方法来描述螺栓连接，并以 的对比验证了上述建模思想及方法的正确性和合 一个箱型螺栓连接结构模型为例进行了较精确的 理性 动态性能分析. 1 基于虚拟材料复模量非均匀分布的螺栓 上述利用虚拟材料法建立的螺栓连接结构 搭接部分建模理念 模型均与实验结果较为接近，但是上述模型中通 常用赋以均匀参数的虚拟材料模拟螺栓结合面. 1.1建模理念 事实上，真实螺栓结合部的接触面压力是非均匀 螺栓连接薄板结构由两块薄板搭接并由若干 分布的，而这种非均匀分布的接触面压力会影响 螺栓紧固在一起，本文考虑将搭接部分用虚拟材 到结构的振动特性，因此，本文以螺栓连接薄板 料进行模拟，在建模时将结构划分为板1、搭接部 结构为研究对象，采用复模量非均匀分布的虚拟 分及板2三个部分，并分别建模，如图1(a)所示 材料模拟螺栓连接结构的搭接部分，建立螺栓 而为了更好地模拟搭接部分的力学特性，这里假 连接板的半解析模型.文中具体介绍了建模思想 设虚拟材料的储能模量分别服从线性分布、抛物 及原理，给出了基于遗传算法反推虚拟材料各参 线分布、正弦分布等非均匀分布形式，如图1(b) 数的辨识流程，并创新性地给出了求解频响函数 所示.所研究的螺栓连接薄板结构，长度为，宽度 的公式，最后，以一个具体的螺栓连接薄板结构为 为b,搭接部分长度为2-1，宽度为b,未搭接部分 例进行了实例研究，通过模型与物理实验结果间 厚度为6，搭接部分厚度为26 一一Straight line (a) (b) Elastic modulus .Parabola Plate 1 Sine line Plate 2 Bolt ioint 0 Lap joint Platel (Virtual Plate 2 图1虚拟材料储能模量非均匀分布.(a)三维结构示意：(b)二维结构示意 Fig.I Nonuniform distribution of the storage modulus of a virtual material:(a)3D structure diagram;(b)2D structure diagram 在本文的建模方法中，将虚拟材料的材料参 4ED 2 ,l1≤x≤2 (3) 数用复模量表示，具体为 -4- Ed*=Ea+iCa (1) Ed.3 Ep-Ep sin x-)山≤x≤h (4) 式中，Ea为虚拟材料的复模量，Ea为虚拟材料的 式中，Eal,Ea2和Ea.3分别表示为搭接部分以线性、 储能模量，i为虚数单位，Ca为虚拟材料的耗能 抛物线或正弦分布模拟的储能模量值，ED表示为 模量 搭接部分的最大储能模量，x为沿板长方向的坐标 首先确定搭接部分具体的储能模量分布.基 接下来确定搭接部分的耗能模量分布.考虑 于图1中所描述的搭接部分储能模量以线性、抛 到真实的螺栓结合部阻尼作用机理的复杂性，为 物线、正弦分布的假定，搭接部分任意位置处的储 简化建模，这里将搭接部分的耗能模量视为均匀 能模量求解式可分别确定如下： 分布，即搭接部分任意位置处的耗能模量均取值 25x-+b@,4≤x≤4 为Cd. 11-l2 11-l2 2 1.2虚拟材料储能模量与耗能模量参数确定方法 Ed.I= (2) +2)ED.h+业≤x≤h 在上述的建模方法中，需要确定任意位置处 -4r- l2-l1 2 的虚拟材料复模量值，其中储能模量已经给出了
力的非线性虚拟材料方法来描述螺栓连接，并以 一个箱型螺栓连接结构模型为例进行了较精确的 动态性能分析. 上述利用虚拟材料法建立的螺栓连接结构 模型均与实验结果较为接近，但是上述模型中通 常用赋以均匀参数的虚拟材料模拟螺栓结合面. 事实上，真实螺栓结合部的接触面压力是非均匀 分布的，而这种非均匀分布的接触面压力会影响 到结构的振动特性. 因此，本文以螺栓连接薄板 结构为研究对象，采用复模量非均匀分布的虚拟 材料模拟螺栓连接结构的搭接部分，建立螺栓 连接板的半解析模型. 文中具体介绍了建模思想 及原理，给出了基于遗传算法反推虚拟材料各参 数的辨识流程，并创新性地给出了求解频响函数 的公式. 最后，以一个具体的螺栓连接薄板结构为 例进行了实例研究，通过模型与物理实验结果间 的对比验证了上述建模思想及方法的正确性和合 理性. 1 基于虚拟材料复模量非均匀分布的螺栓 搭接部分建模理念 1.1 建模理念 l b l2 −l1 b δ 2δ 螺栓连接薄板结构由两块薄板搭接并由若干 螺栓紧固在一起，本文考虑将搭接部分用虚拟材 料进行模拟，在建模时将结构划分为板 1、搭接部 分及板 2 三个部分，并分别建模，如图 1（a）所示. 而为了更好地模拟搭接部分的力学特性，这里假 设虚拟材料的储能模量分别服从线性分布、抛物 线分布、正弦分布等非均匀分布形式，如图 1（b） 所示. 所研究的螺栓连接薄板结构，长度为 ，宽度 为 ，搭接部分长度为 ，宽度为 ，未搭接部分 厚度为 ，搭接部分厚度为 . (a) (b) Plate 1 Plate 2 Bolt joint l b x y z Parabola Straight line Elastic modulus x E Sine line ED 0 Plate1 Plate 2 Lap joint (Virtual material) l 1 l 2−l1 l 1 l 2 图 1 虚拟材料储能模量非均匀分布. （a）三维结构示意；（b）二维结构示意 Fig.1 Nonuniform distribution of the storage modulus of a virtual material: (a) 3D structure diagram; (b) 2D structure diagram 在本文的建模方法中，将虚拟材料的材料参 数用复模量表示，具体为 Ed ∗ = Ed +iCd （1） Ed ∗ Ed Cd 式中， 为虚拟材料的复模量， 为虚拟材料的 储能模量， i 为虚数单位， 为虚拟材料的耗能 模量. 首先确定搭接部分具体的储能模量分布. 基 于图 1 中所描述的搭接部分储能模量以线性、抛 物线、正弦分布的假定，搭接部分任意位置处的储 能模量求解式可分别确定如下： Ed,1 = 2ED l1 −l2 x− (l1 +l2)ED l1 −l2 , l1 ⩽ x ⩽ l1 +l2 2 2ED l2 −l1 x− (l1 +l2)ED l2 −l1 , l1 +l2 2 ⩽ x ⩽ l2 （2） Ed,2 = 4ED (l2 −l1) 2 ( x− l1 +l2 2 )2 ,l1 ⩽ x ⩽ l2 （3） Ed,3 = ED − ED sin( π l2 −l1 (x−l1) ) ,l1 ⩽ x ⩽ l2 （4） Ed,1 Ed,2 Ed,3 ED 式中， ， 和 分别表示为搭接部分以线性、 抛物线或正弦分布模拟的储能模量值， 表示为 搭接部分的最大储能模量，x 为沿板长方向的坐标. Cd 接下来确定搭接部分的耗能模量分布. 考虑 到真实的螺栓结合部阻尼作用机理的复杂性，为 简化建模，这里将搭接部分的耗能模量视为均匀 分布，即搭接部分任意位置处的耗能模量均取值 为 . 1.2 虚拟材料储能模量与耗能模量参数确定方法 在上述的建模方法中，需要确定任意位置处 的虚拟材料复模量值，其中储能模量已经给出了 刘晓峰等： 基于虚拟材料复模量非均匀分布的螺栓连接薄板结构半解析建模 · 845 ·
846 工程科学学报，第43卷，第6期 特定分布，故只需确定该分布下的最大储能模量 反推辨识虚拟材料耗能模量的目标函数可定 值ED即可，而本文虚拟材料的耗能模量为均匀分 义为 布，即只需确定参数Ca的值 本文采用反推辨识法⑧-识别上述待定参 min (6) 数ED及Cd,将待定参数定义为设计变量，通过匹 配计算不断对设计变量进行修正，使计算得到 式中，ha和h©分别表示仿真和实验获得的第i阶 的结构振动特性与实验结果逐渐趋于一致，最 固有频率处的频响函数幅值，中：为对应于第i阶固 终反推出待识别参数.虚拟材料的储能模量直 有频率处实验与仿真频响函数值相对误差平方的 接影响到螺栓连接结构的固有频率，而其耗能 权重 模量直接影响螺栓连接结构的频响函数幅值， 在算法中设定好目标函数的权重后，还需设 因而本文通过实际测试螺栓连接结构的固有频 定好算法中的种群数量（即每次迭代中给出的待 率和频响函数幅值来反推虚拟材料的储能模量 辨识参数的数量)、变异概率（即种群中待辨识参 与耗能模量. 数发生变异行为的概率)、交叉概率（即种群中待 图2为反推辨识虚拟材料储能模量和耗能模 辨识参数发生交叉行为的概率)，本文设定收敛条 量的流程图，主要包括三部分内容：实验测试，通 件为达到最大的迭代次数，通过若干次迭代发现 过锤击试验获取螺栓连接结构的各阶固有频率和 目标结果已达到稳定值，由此输出辨识的待定参 频响函数：理论计算，利用自编半解析程序建立螺 数，即获得辨识之后的虚拟材料储能模量及耗能 栓连接结构半解析模型，详情见第2部分；匹配计 模量参数 算，建立模型计算结果与实验测试结果的匹配关 2螺栓连接薄板结构半解析建模及分析 系，这里采用遗传算法0四进行参数寻优，迭代计 算辨识待定参数， 2.1搭接薄板结构能量方程的推导 上文建模理念中，将螺栓连接薄板结构划分 Semianalytical Frequency response modeling of bolted function test of bolted 为三部分（板1、搭接部分和板2），因其均属于薄 thin plate structure thin plate structure 板结构，故基于Kirchhoff假设和经典薄板理论，将 ↓ Natural frequency Natural frequency 整个结构的位移场23-2表示为 (Frequency (Frequency wo(x.y,t) response function) response function) u(x,y,z,t)=uo(x,y,t)-z- Matching calculation wo(x,y,t) (7) v(x,y,zt)=vo(x,y,t)-z- Optimized storage dy modulus value (loss modulus value) w(x,y,z,t)=wo(x,y,t) Reached the maximum number No 式中，0，o和wo分别表示结构的中面位移，t表 of iterations? 示时间，y为沿板宽方向的坐标，？为沿板厚方向 Yes Output virtual material storage modulu 以板中面为原点的坐标，具体坐标轴位置可参见 value (loss modulus value) 图1(a) 图2虚拟材料储能模量（耗能模量）辨识流程 结构任意一点的应变可以用位移表示为 Fig2 Identification process of the storage modulus (loss modulus)of Ou Ouo 2wo the virtual material Ex= -Z- x2 反推辨识虚拟材料储能模量的目标函数可表 Ov 0vo a-wo Ey= 示为 dy dy 2 (8) Ou Yry= +m_00+00-2z2w (5) +脉= ax0v E:=Yy=Yx=0 式中，@和f分别表示仿真和实验获得的第阶固 式中，x、6,、,分别表示为x、少、2轴方向的正应变， 有频率，"为对应于第阶实验与仿真固有频率相对 y、yx、y分别表示y、z、z面上的剪应变 误差平方的权重，为参与计算的固有频率阶数 模型的应变能可表示为
ED Cd 特定分布，故只需确定该分布下的最大储能模量 值 即可，而本文虚拟材料的耗能模量为均匀分 布，即只需确定参数 的值. ED Cd 本文采用反推辨识法[18−19] 识别上述待定参 数 及 ，将待定参数定义为设计变量，通过匹 配计算不断对设计变量进行修正，使计算得到 的结构振动特性与实验结果逐渐趋于一致，最 终反推出待识别参数. 虚拟材料的储能模量直 接影响到螺栓连接结构的固有频率，而其耗能 模量直接影响螺栓连接结构的频响函数幅值， 因而本文通过实际测试螺栓连接结构的固有频 率和频响函数幅值来反推虚拟材料的储能模量 与耗能模量. 图 2 为反推辨识虚拟材料储能模量和耗能模 量的流程图，主要包括三部分内容：实验测试，通 过锤击试验获取螺栓连接结构的各阶固有频率和 频响函数；理论计算，利用自编半解析程序建立螺 栓连接结构半解析模型，详情见第 2 部分；匹配计 算，建立模型计算结果与实验测试结果的匹配关 系，这里采用遗传算法[20−22] 进行参数寻优，迭代计 算辨识待定参数. No Yes Semianalytical modeling of bolted thin plate structure Frequency response function test of bolted thin plate structure Natural frequency (Frequency response function) Natural frequency (Frequency response function) Matching calculation Optimized storage modulus value (loss modulus value) Reached the maximum number of iterations? Output virtual material storage modulu value (loss modulus value) 图 2 虚拟材料储能模量（耗能模量）辨识流程 Fig.2 Identification process of the storage modulus (loss modulus) of the virtual material 反推辨识虚拟材料储能模量的目标函数可表 示为 minFk= ∑n˜ i=1 Ψi f (a) i f (e) i −1 2 （5） f (a) i f (e) i i Ψi i n˜ 式中， 和 分别表示仿真和实验获得的第 阶固 有频率， 为对应于第 阶实验与仿真固有频率相对 误差平方的权重， 为参与计算的固有频率阶数. 反推辨识虚拟材料耗能模量的目标函数可定 义为 minFc= ∑n˜ i=1 Φi h (a) i h (e) i −1 2 （6） h (a) i h (e) i Φi 式中， 和 分别表示仿真和实验获得的第 i 阶 固有频率处的频响函数幅值， 为对应于第 i 阶固 有频率处实验与仿真频响函数值相对误差平方的 权重. 在算法中设定好目标函数的权重后，还需设 定好算法中的种群数量（即每次迭代中给出的待 辨识参数的数量）、变异概率（即种群中待辨识参 数发生变异行为的概率）、交叉概率（即种群中待 辨识参数发生交叉行为的概率），本文设定收敛条 件为达到最大的迭代次数，通过若干次迭代发现 目标结果已达到稳定值，由此输出辨识的待定参 数，即获得辨识之后的虚拟材料储能模量及耗能 模量参数. 2 螺栓连接薄板结构半解析建模及分析 2.1 搭接薄板结构能量方程的推导 上文建模理念中，将螺栓连接薄板结构划分 为三部分（板 1、搭接部分和板 2），因其均属于薄 板结构，故基于 Kirchhoff 假设和经典薄板理论，将 整个结构的位移场[23−24] 表示为 u(x, y,z,t) = u0(x, y,t)−z ∂w0(x, y,t) ∂x v(x, y,z,t) = v0(x, y,t)−z ∂w0(x, y,t) ∂y w(x, y,z,t) = w0(x, y,t) （7） 式中 ， u0， v0 和 w0 分别表示结构的中面位移 ， t 表 示时间，y 为沿板宽方向的坐标，z 为沿板厚方向 以板中面为原点的坐标，具体坐标轴位置可参见 图 1（a）. 结构任意一点的应变可以用位移表示为 εx = ∂u ∂x = ∂u0 ∂x −z ∂ 2w0 ∂x 2 εy = ∂v ∂y = ∂v0 ∂y −z ∂ 2w0 ∂y 2 γxy = ∂u ∂y + ∂v ∂x = ∂u0 ∂y + ∂v0 ∂x −2z ∂ 2w0 ∂x∂y εz = γyz = γxz = 0 （8） εx εy εz γxy γyz γxz 式中， 、 、 分别表示为 x、y、z 轴方向的正应变， 、 、 分别表示 xy、yz、xz 面上的剪应变. 模型的应变能可表示为 · 846 · 工程科学学报，第 43 卷，第 6 期
刘晓峰等：基于虚拟材料复模量非均匀分布的螺栓连接薄板结构半解析建模 847… (Od.xEd.x+dyEd.y+Td.xyYd.ry)dVd+ 2川∬o22+2,2+r2w 号店 n产帝 (9) 式中：0x,,t,j=1,d,2,分别表示板1未搭 wo(化，y,t)=W(x,y)eiwr (13) 接部分、搭接部分、板2未搭接部分任一点的正应 式中，W(x,y)表示横向位移幅值，ω表示模型的激 力及剪应力；ex,e,y,j=1,d,2,分别表示板 振频率. 1未搭接部分、搭接部分、板2未搭接部分任一点 螺栓连接薄板结构中面的振动幅值可以表 的正应变及剪应变；V,Va和V2分别为板1未搭接 示为 部分、搭接部分、板2未搭接部分的体积.其中， R 变量D1,D2和D3表示为 W(a,)兰 crsPr(@)P:(B) (14) =1=l E D1=1- (10a) 式中，a=x儿，B=y/b,R和S为实际计算时考虑的多 项式数量，通常取R=S,cs为待定的参数.P(a)和 Eμ D2=1-2 (10b) P(B)为特征正交多项式，对应于不同的边界条件， D3=4G 有不同的迭代求解公式.其中对于悬臂状态，可用 (10e) 下面的公式进行迭代求解 变量D1d,D2a和D3d表示为 E P1(a)=a2,P1(B=1, D1d=1-62 (11a) P2()=(G-B2)P1(G), (15) P(5)=(5-Bk)PR-1(5)-QkPk-2(5). D2d= Eaua (11b) 1-a2 L=a,B,k>2 D3d=4Gd (11c) 式中： 式中：4，a分别为未搭接部分和搭接部分的泊松 BSIP-fds (16a) 比，E,G分别为未搭接部分的储能模量和剪切模 [PR-1(OT d 量，G为搭接部分的复剪切模量 模型的动能可表示为 =P- (16b) r-信a*( IP-2(O1ds dxdy+ 将式(14)分别代入到式(9)和式(12)中，得到 罗 用正交多项式描述的螺栓连接薄板结构的应变能 (12) 及动能表达式.另设L=T-U,利用如下拉格朗日 式中，p和Pu分别为未搭接部分和搭接部分的材料 方程 密度 d aLaL =0.r=1,23,R dt aers acrss=1,2,3,....S (17) 2.2螺栓连接薄板结构振动特性求解 假设自由状态下螺栓连接薄板结构中面横向 可获得螺栓连接薄板结构的自由振动方程，表达为 位移wo(x,y,)做简谐运动，可表示为 (K-w2M0c=0 (18)
U = 1 2 y V1 (σ1,xε1,x +σ1,yε1,y +τ1,xyγ1,xy)dV1 + 1 2 y Vd (σd,xεd,x +σd,yεd,y +τd,xyγd,xy)dVd+ 1 2 y V2 (σ2,xε2,x +σ2,yε2,y +τ2,xyγ2,xy)dV2 = δ 3 24 w l1 0 w b 0 D1 ( ∂ 2w ∂x 2 )2 + ( ∂ 2w ∂y 2 )2 +2D2 ∂ 2w ∂x 2 ∂ 2w ∂y 2 + D3 ( ∂ 2w ∂x∂y )2 dxdy+ δ 3 3 w l2 l1 w b 0 D1d ( ∂ 2w ∂x 2 )2 + ( ∂ 2w ∂y 2 )2 +2D2d ∂ 2w ∂x 2 ∂ 2w ∂y 2 + D3d( ∂ 2w ∂x∂y )2 dxdy+ δ 3 24 w l l2 w b 0 D1 ( ∂ 2w ∂x 2 )2 + ( ∂ 2w ∂y 2 )2 +2D2 ∂ 2w ∂x 2 ∂ 2w ∂y 2 + D3 ( ∂ 2w ∂x∂y )2 dxdy （9） σj,x σj,y τj,xy j = 1,d,2 εj,x εj,y γj,xy j = 1,d,2 V1 Vd V2 D1 D2 D3 式中： ， ， ， ，分别表示板 1 未搭 接部分、搭接部分、板 2 未搭接部分任一点的正应 力及剪应力； ， ， ， ，分别表示板 1 未搭接部分、搭接部分、板 2 未搭接部分任一点 的正应变及剪应变； ， 和 分别为板 1 未搭接 部分、搭接部分、板 2 未搭接部分的体积. 其中， 变量 ， 和 表示为 D1 = E 1−µ 2 （10a） D2 = Eµ 1−µ 2 （10b） D3 = 4G （10c） 变量 D1d，D2d 和 D3d 表示为 D1d = E ∗ d 1−µd 2 （11a） D2d = E ∗ d µd 1−µd 2 （11b） D3d = 4G ∗ d （11c） µ µd G G ∗ d 式中： ， 分别为未搭接部分和搭接部分的泊松 比 ，E， 分别为未搭接部分的储能模量和剪切模 量， 为搭接部分的复剪切模量. 模型的动能可表示为 T = ρδ 2 w l1 0 w b 0 ( dw dt )2 dxdy+ρdδ w l2 l1 w b 0 ( dw dt )2 dxdy+ ρδ 2 w l l2 w b 0 ( dw dt )2 dxdy （12） 式中， ρ 和 ρd 分别为未搭接部分和搭接部分的材料 密度. 2.2 螺栓连接薄板结构振动特性求解 w0(x, y,t) 假设自由状态下螺栓连接薄板结构中面横向 位移 做简谐运动，可表示为 w0(x, y,t) = W(x, y)eiωt （13） 式中， W(x, y) 表示横向位移幅值，ω 表示模型的激 振频率. 螺栓连接薄板结构中面的振动幅值[25] 可以表 示为 W(α, β) ∑ R r=1 ∑ S s=1 crsPr(α)Ps(β) （14） α = x/l β = y/b R S R = S crs Pr(α) Ps(β) 式中， ， ， 和 为实际计算时考虑的多 项式数量，通常取 ， 为待定的参数. 和 为特征正交多项式，对应于不同的边界条件， 有不同的迭代求解公式. 其中对于悬臂状态，可用 下面的公式进行迭代求解 P1(α) = α 2 ,P1(β) = 1, P2(ζ) = (ζ − B2)P1(ζ), Pk(ζ) = (ζ − Bk)Pk−1(ζ)− QkPk−2(ζ), ζ = α, β, k > 2 （15） 式中： Bk = r 1 0 [ Pk−1(ζ) ]2 ζdζ r 1 0 [ Pk−1(ζ) ]2 dζ （16a） Qk = r 1 0 Pk−1(ζ)Pk−2(ζ)ζdζ r 1 0 [ Pk−2(ζ) ]2 dζ （16b） L = T −U 将式（14）分别代入到式（9）和式（12）中，得到 用正交多项式描述的螺栓连接薄板结构的应变能 及动能表达式. 另设 ，利用如下拉格朗日 方程 d dt ∂L ∂c˙rs − ∂L ∂crs = 0, ( r = 1,2,3,··· ,R s = 1,2,3,··· ,S ) （17） 可获得螺栓连接薄板结构的自由振动方程，表达为 (K ∗ −ω 2M)c = 0 （18） 刘晓峰等： 基于虚拟材料复模量非均匀分布的螺栓连接薄板结构半解析建模 · 847 ·
848 工程科学学报，第43卷，第6期 式中：K和M分别为结构的复刚度矩阵和质量矩 阵，c是由待定常量c组成的自由振动响应向量， 可以表示为c=[c1I…c1s…c21…c2s…Crs…cs].同 时，需要说明的是：由于虚拟材料是按复模量引入 系统的，因而最初生成的刚度矩阵是复数，可表达 为K=KR+iK,KR和K分别为复刚度矩阵的实部 Vibration 和虚部.利用此式便可获得螺栓连接薄板结构的 pick-up point 固有频率和模态振型 Hammering 含激振力的螺栓连接薄板结构的运动方程为 point (K*-0M)X=F (19) 式中，X表示强迫振动响应向量，F为激振力向量 基于式(19)，螺栓连接薄板结构复频响函数 图3螺栓连接薄板结构实物图 Fig.3 Real structure of the bolted thin-plate structure 矩阵可表示为 r-g-K-dM' 表1螺栓连接薄板结构中板的相关材料及几何参数 (20) Table 1 Material and geometric parameters of the plate in a bolted thin 本文考虑利用振动幅值W(α，B)中的特征正交 plate structure 多项式构造锤击点与拾振点处的振型向量，并通 Length/Width/Thickness/Elastic modulus/ Density/Poisson's mm mm mm GPa (kg'm) ratio 过与复频响函数矩阵H之间的矩阵运算的方式获 120 120 2.4 200 7930 0.3 得对应于锤击点与拾振点间的频响函数，在确定 锤击点和拾振点位置后，利用式(14)分别构造激 螺栓预紧力影响着结合部的物理属性，预紧 振点和拾振点处的R×S维振型向量P1和p2 力的变化会对结合部的刚度和阻尼产生影响，进 P1=[P1(a1)P1(B1)…P1(a1)Ps(B1)…P2(a1)P1(B1)… 而会使得螺栓连接结构的固有特性产生一定变 P2(a1)Ps(B1)…P(a1)Ps(B1)…Pr(a1)Ps(B1】 化，本文重点描述建模方法，因而仅以一个定常预 (21) 紧力为例做研究.对每个螺栓均施加3Nm的预 P2=[P1(a2)P1(2)…P1(a2)Ps(2)…P2(a2)P1(B2)… 紧力，采用锤击法对该螺栓连接薄板结构进行固 P2(a2)Ps(B2)…P(a2)P,(B2)…PR(a2)Ps(B2】 (22) 有特性测试，测试中通过PCB SN30272力锤对薄 板连接结构施加宽频激励，使用Polytec PDV-lO0 式中，a1,B1表示激振点对应的量纲一的坐标值， 2,B2表示拾振点对应的量纲一的坐标值. 激光多普勒测振仪拾振，LMS SCSDAS数据采集 因此，对应激振点与拾振点处的频响函数可 分析仪用于获取激励及响应信号，最终由获取的 表示为 频响函数获得固有频率及模态振型.实验过程中， 拾振点如图3所示不变，在获取模态振型时，锤击 Hiz=9iH'p]=pl K"-0M (23) 点为图3中标注的所有节点，而图中突出标注的 此时求得的频响函数为复数，通过取绝对值 是下文所选取的频响函数在实验获取时的对应锤 即可得到模型在任一激振频率下的频响函数值 击点.相关测试结果列在后续的与理论分析相对 3实例研究 照的各图表中 3.2螺栓连接薄板结构半解析建模 3.1问题描述 两块连接薄板的搭接部分长为60mm,宽为 这部分以螺栓连接钢板为例，描述本文提出 120mm,按照式(2)~(4)，依次给与搭接部分复模 的用复模量非均匀变化的虚拟材料模拟搭接部 量以线性、抛物线、正弦分布，建立三种非均匀分 分的力学特性，进而完成整个结构的动力学建模 布下的螺栓连接薄板结构半解析模型.为了明确 与分析的方法.图3为所研究的螺栓连接薄板 用哪种分布形式更能提升分析模型的精度，在这 结构，其由两块钢板经两个M6外六角头螺栓紧固 里进行了对比研究.同时为了体现这种虚拟材料 连接构成，与所建半解析模型边界条件一致，其一 复模量非均匀分布建模理念的先进性，还对比了 端固定支撑在实验台上，相关几何及材料参数见 虚拟材料复模量均匀分布建模力学特性的结果 表1. 分别采用反推辨识技术，利用实测的前5阶固有
c crs c = [c11 ··· c1s ··· c21 ··· c2s ··· crs ··· cRS ] T K ∗ = KR +iKI KR KI 式中：K *和 M 分别为结构的复刚度矩阵和质量矩 阵 ， 是由待定常量 组成的自由振动响应向量， 可以表示为 . 同 时，需要说明的是：由于虚拟材料是按复模量引入 系统的，因而最初生成的刚度矩阵是复数，可表达 为 ， 和 分别为复刚度矩阵的实部 和虚部. 利用此式便可获得螺栓连接薄板结构的 固有频率和模态振型. 含激振力的螺栓连接薄板结构的运动方程为 (K ∗ −ω 2M)X = F （19） 式中， X 表示强迫振动响应向量， F 为激振力向量. 基于式（19），螺栓连接薄板结构复频响函数 矩阵可表示为 H ∗ = X F = [ K ∗ −ω 2M ]−1 （20） W(α, β) H∗ R×S φ1 φ2 本文考虑利用振动幅值 中的特征正交 多项式构造锤击点与拾振点处的振型向量，并通 过与复频响函数矩阵 之间的矩阵运算的方式获 得对应于锤击点与拾振点间的频响函数，在确定 锤击点和拾振点位置后，利用式（14）分别构造激 振点和拾振点处的 维振型向量 和 φ1 = [P1(α1)P1(β1)···P1(α1)PS (β1)···P2(α1)P1(β1)··· P2(α1)PS (β1)···Pr(α1)Ps(β1)···PR(α1)PS (β1)] （21） φ2 = [P1(α2)P1(β2)···P1(α2)PS (β2)···P2(α2)P1(β2)··· P2(α2)PS (β2)···Pr(α2)Ps(β2)···PR(α2)PS (β2)] （22） α1 β1 α2 β2 式中， ， 表示激振点对应的量纲一的坐标值， ， 表示拾振点对应的量纲一的坐标值. 因此，对应激振点与拾振点处的频响函数可 表示为 H ∗ 12 = φ1H ∗φ T 2 = φ1 [ K ∗ −ω 2M ]−1 φ T 2 （23） 此时求得的频响函数为复数，通过取绝对值 即可得到模型在任一激振频率下的频响函数值. 3 实例研究 3.1 问题描述 这部分以螺栓连接钢板为例，描述本文提出 的用复模量非均匀变化的虚拟材料模拟搭接部 分的力学特性，进而完成整个结构的动力学建模 与分析的方法. 图 3 为所研究的螺栓连接薄板 结构，其由两块钢板经两个 M6 外六角头螺栓紧固 连接构成，与所建半解析模型边界条件一致，其一 端固定支撑在实验台上，相关几何及材料参数见 表 1. Vibration pick-up point Hammering point 图 3 螺栓连接薄板结构实物图 Fig.3 Real structure of the bolted thin-plate structure 表 1 螺栓连接薄板结构中板的相关材料及几何参数 Table 1 Material and geometric parameters of the plate in a bolted thin plate structure Length/ mm Width/ mm Thickness/ mm Elastic modulus/ GPa Density/ （kg·m−3） Poisson’s ratio 120 120 2.4 200 7930 0.3 螺栓预紧力影响着结合部的物理属性，预紧 力的变化会对结合部的刚度和阻尼产生影响，进 而会使得螺栓连接结构的固有特性产生一定变 化，本文重点描述建模方法，因而仅以一个定常预 紧力为例做研究. 对每个螺栓均施加 3 N·m 的预 紧力，采用锤击法对该螺栓连接薄板结构进行固 有特性测试，测试中通过 PCB SN 30272 力锤对薄 板连接结构施加宽频激励，使用 Polytec PDV-100 激光多普勒测振仪拾振，LMS SCSDAS 数据采集 分析仪用于获取激励及响应信号，最终由获取的 频响函数获得固有频率及模态振型. 实验过程中， 拾振点如图 3 所示不变，在获取模态振型时，锤击 点为图 3 中标注的所有节点，而图中突出标注的 是下文所选取的频响函数在实验获取时的对应锤 击点. 相关测试结果列在后续的与理论分析相对 照的各图表中. 3.2 螺栓连接薄板结构半解析建模 两块连接薄板的搭接部分长为 60 mm，宽为 120 mm，按照式（2）～（4），依次给与搭接部分复模 量以线性、抛物线、正弦分布，建立三种非均匀分 布下的螺栓连接薄板结构半解析模型. 为了明确 用哪种分布形式更能提升分析模型的精度，在这 里进行了对比研究. 同时为了体现这种虚拟材料 复模量非均匀分布建模理念的先进性，还对比了 虚拟材料复模量均匀分布建模力学特性的结果. 分别采用反推辨识技术，利用实测的前 5 阶固有 · 848 · 工程科学学报，第 43 卷，第 6 期
刘晓峰等：基于虚拟材料复模量非均匀分布的螺栓连接薄板结构半解析建模 849 频率，针对不同的虚拟材料复模量非均匀分布建模 表2反推法辨识获得的各分布状态下的虚拟材料储能模量 方式，确定虚拟材料的最大储能模量ED,其中对前 Table 2 Storage modulus of the virtual material for each distribution 5阶分配的权重依次为0.3、0.2、0.3、0.1、0.1，遗传算 obtained using the inverse identification technique 法中种群数量、变异概率、交叉概率、迭代次数依次 Complex modulus distribution of virtual materials Maximum storage modulus,Ep/Pa 设置为50、0.05、0.9和50，相关辨识结果见表2. Linear distribution 7.6×100 需要说明的是，表中的储能模量值是使对应 Parabola distribution 1.0835×10 分布下的模型达到最高模拟精度的量值.用此储 Sinusoidal distribution 1×10" 能模量值获得的螺栓连接薄板的前5阶固有频率 Uniform distribution 2.195×100 与实验的比对分别见表3. 表3各虚拟材料储能模量分布模型固有频率与实验固有颜率对比 Table 3 Comparison of the natural frequencies obtained using the virtual-material storage modulus distribution model and the experiment Natural Natural Natural Natural Natural Order frequencies of frequencies of Error/% Error/% frequencies of Error/% frequencies of Error/% parabola linear text/Hz sinusoidal uniform distribution/Hz distribution/Hz distribution/Hz distribution/Hz 1 55.537 56.933 2.51364 56.931 2.510038 56.9321 2.512019 56.9319 2.511659 2 197.793 189.6264 -4.12866 192.3208 -2.76663 189.9875 -3.9463 198.1551 0.18307 3 311.441 318.5184 2.272469 332.0858 6.6288 320.419 2.882729 357.1359 14.67209 4 619.969 616.2225 -0.6043 621.7815 0.292353 616.9306 -0.49009 635.7655 2.54795 5 881.62 865.2161 -1.86065 877.6824 -0.44663 866.8424 -1.67619 905.9436 2.758966 由表3各数据间的对比可以非常直观的看出 续求解螺栓连接板的模态振型.仿真计算获得的 虚拟材料储能模量均匀分布时模型的固有频率与 模态振型与实测值的比对见表5，可以看出两者的 实验的接近程度明显差于虚拟材料储能模量非均 振型基本一致 匀分布时的结果.进一步，利用均方根误差(RMSE) 方法2对比上述三种非均匀分布模拟时的各阶固 表5实验与仿真前5阶振型对照 有频率与实验的偏差，将表3中的数据代入到式 Table 5 Comparison of the first five experimental and simulated vibration modes (24),获得对应三种分布形式的仿真与实验前5阶 Order Vibration modes by testing Vibration modes by simulation 固有频率的RMSE,结果见表4. 表4各非均匀分布形式中仿真与实验前5阶固有频率的均方根误差 Table 4 Root mean square error (RMSE)of the first five natural experimental and simulated frequencies in various nonuniform distributions Nonuniform distribution RMSE value Linear distribution 3.411172 Parabola distribution 2.543903 Sinusoidal distribution 2.578504 通过表4中的RMSE对比可以看出，采用抛物 线分布时，模型前5阶固有频率与实验的接近程 度更好.故在后续分析时，对于本文的结构，均采 用虚拟材料储能模量按抛物线分布的模型进行 模拟. 3.3振动特性求解 由于要确定虚拟材料的耗能模量，接下来进 前一部分已描述了固有频率的求解，这里继 行模型频响函数的计算.参照图3中描述的激励
ED 频率，针对不同的虚拟材料复模量非均匀分布建模 方式，确定虚拟材料的最大储能模量 ，其中对前 5 阶分配的权重依次为 0.3、0.2、0.3、0.1、0.1，遗传算 法中种群数量、变异概率、交叉概率、迭代次数依次 设置为 50、0.05、0.9 和 50，相关辨识结果见表 2. 需要说明的是，表中的储能模量值是使对应 分布下的模型达到最高模拟精度的量值. 用此储 能模量值获得的螺栓连接薄板的前 5 阶固有频率 与实验的比对分别见表 3. 表 3 各虚拟材料储能模量分布模型固有频率与实验固有频率对比 Table 3 Comparison of the natural frequencies obtained using the virtual-material storage modulus distribution model and the experiment Order Natural frequencies of text/Hz Natural frequencies of parabola distribution/Hz Error/% Natural frequencies of linear distribution/Hz Error/% Natural frequencies of sinusoidal distribution/Hz Error/% Natural frequencies of uniform distribution/Hz Error/% 1 55.537 56.933 2.51364 56.931 2.510038 56.9321 2.512019 56.9319 2.511659 2 197.793 189.6264 −4.12866 192.3208 −2.76663 189.9875 −3.9463 198.1551 0.18307 3 311.441 318.5184 2.272469 332.0858 6.6288 320.419 2.882729 357.1359 14.67209 4 619.969 616.2225 −0.6043 621.7815 0.292353 616.9306 −0.49009 635.7655 2.54795 5 881.62 865.2161 −1.86065 877.6824 −0.44663 866.8424 −1.67619 905.9436 2.758966 由表 3 各数据间的对比可以非常直观的看出 虚拟材料储能模量均匀分布时模型的固有频率与 实验的接近程度明显差于虚拟材料储能模量非均 匀分布时的结果. 进一步，利用均方根误差（RMSE） 方法[26] 对比上述三种非均匀分布模拟时的各阶固 有频率与实验的偏差，将表 3 中的数据代入到式 （24），获得对应三种分布形式的仿真与实验前 5 阶 固有频率的 RMSE，结果见表 4. 表 4 各非均匀分布形式中仿真与实验前 5 阶固有频率的均方根误差 Table 4 Root mean square error (RMSE) of the first five natural experimental and simulated frequencies in various nonuniform distributions Nonuniform distribution RMSE value Linear distribution 3.411172 Parabola distribution 2.543903 Sinusoidal distribution 2.578504 通过表 4 中的 RMSE 对比可以看出，采用抛物 线分布时，模型前 5 阶固有频率与实验的接近程 度更好. 故在后续分析时，对于本文的结构，均采 用虚拟材料储能模量按抛物线分布的模型进行 模拟. 3.3 振动特性求解 前一部分已描述了固有频率的求解，这里继 续求解螺栓连接板的模态振型. 仿真计算获得的 模态振型与实测值的比对见表 5，可以看出两者的 振型基本一致. 表 5 实验与仿真前 5 阶振型对照 Table 5 Comparison of the first five experimental and simulated vibration modes Order Vibration modes by testing Vibration modes by simulation 1 2 3 4 5 由于要确定虚拟材料的耗能模量，接下来进 行模型频响函数的计算. 参照图 3 中描述的激励 表 2 反推法辨识获得的各分布状态下的虚拟材料储能模量 Table 2 Storage modulus of the virtual material for each distribution obtained using the inverse identification technique Complex modulus distribution of virtual materials Maximum storage modulus, ED/Pa Linear distribution 7.6 × 1010 Parabola distribution 1.0835 × 1011 Sinusoidal distribution 1 × 1011 Uniform distribution 2.195 × 1010 刘晓峰等： 基于虚拟材料复模量非均匀分布的螺栓连接薄板结构半解析建模 · 849 ·
850 工程科学学报，第43卷，第6期 点和拾振点位置，利用式(23)进行频响函数的计 以及频响函数值均与实验结果较为接近，从而证 算，首先，利用反推辨识，对前5阶频响函数值依 明了提出的用复模量非均匀分布的虚拟材料模拟 次分配0.3、0.2、0.1、0.1、0.3的权重，设置种群数 螺栓影响区进而实施半解析建模可实现较高的仿 量、变异概率、交叉概率、迭代次数为50、0.05、 真计算精度 0.9和50，不断迭代模型中虚拟材料的耗能模量 值，使模型的频响函数曲线尽可能接近实测曲线， 参考文献 完成迭代后，虚拟材料的耗能模量为1.625×10°Pa [1]Reid J D,Hiser N R.Detailed modeling of bolted joints with 接着用此耗能模量值获得最终的频响函数曲线并 slippage.Finite Elem Anal Des,2005,41(6):547 [2] 与实测比对，见图4.从图中也可看出，仿真与实 Sawa S,Ishimura M,Sekiguchi Y,et al.3-D FEM stress analysis and mechanical characteristics in bolted joints under external 测的频响函数也有较好的接近 tensile loadings//ASME 2015 International Mechanical Engineering Congress and Exposition.Houston,2015: Simulation Measurement IMECE2015-50572,V02BT02A036 [3] Luyt P C B,Theron N J,Pietra F.Non-linear finite element modelling and analysis of the effect of gasket creep-relaxation on 10- circular bolted flange connections.IntJ Press Vessels Pip,2017, 15052 106 [4] Zhang D C,Wang G,Huang F H,et al.Load-transferring 01002003004005006007008009001000 Frequency/Hz mechanism and calculation theory along engaged threads of high- strength bolts under axial tension.J Constr Steel Res,2020,172 图4实测与仿真频响函数对比 106153 Fig.4 Comparison of the frequency response functions obtained based on the measured and simulated data [5] Luan Y,Guan Z Q,Cheng G D,et al.A simplified nonlinear dynamic model for the analysis of pipe structures with bolted 4 结论 flange joints.J Sound Vib,2012,331(2):325 [6] Meisami F,Moavenian M,Afsharfard A.Nonlinear behavior of (1)本文提出用复模量非均匀分布的虚拟材 single bolted flange joints:A novel analytical model.Eng Struct, 料来模拟螺栓搭接部分的刚度及阻尼特性，并给 2018,173:908 出详细的建模流程和方法.实践表明本文采用假 [7] Xiang J W,Zhao S W,Li D C,et al.An improved spring method 定的正弦、抛物线和线性等非均匀变化的虚拟材 for calculating the load distribution in multi-bolt composite joints Composites Part B,2017,117:1 料模拟螺栓搭接部分，相比于均匀分布能够更加 [8]Deaner B J,Allen M S,Starr M J,et al.Application of viscous and 精确地模拟螺栓连接结构的动力学特性 Iwan modal damping models to experimental measurements from (2)采用虚拟材料模拟螺栓搭接部分，虚拟材 bolted structures.J Vib Acoust,2015,137(2):021012 料的材料参数用复模量表示，可直接生成复数形 [9]Li L,Cai A J,Ruan X G,et al.Stiffness modeling and 式的刚度矩阵，省却了常规建模中生成结合部阻 characteristic analysis of bolted joints.JVib Eng,2017,30(1):1 尼矩阵的步骤，在保证模型精确性的基础上，简化 (李玲，蔡安江，阮晓光，等.栓接结合部刚度建模与特性分析 了螺栓搭接部分的建模过程.提出利用反推法辨 振动工程学报，2017,30(1)：1) [10]Sun W,Li X Z,Han Q K.Nonlinear joint parameter identification 识虚拟材料的储能模量和耗能模量，其中储能模 for bolted beam structure.J Vib Eng,2013,26(2):185 量参数确定为其分布函数的最大值ED,耗能模量 (孙伟，李星占，韩清凯螺栓联接梁结构结合部非线性特性参 取相同值.通过所提出的反推辨识流程可较为精 数辨识振动工程学报，2013,26(2)：185) 确的确定虚拟材料的参数 [11]Iranzad M,Ahmadian H.Identification of nonlinear bolted lap (3)为了更好地实施所研发的建模理念以及 joint models.Comput Struct,2012,96-97:1 反推辨识确认虚拟材料的复模量参数，自行研发 [12]Wang D,Fan X H.Nonlinear dynamic modeling for joint 了半解析程序.重点描述了复模量非均匀分布的 interfaces by combining equivalent linear mechanics with multi 虚拟材料引入螺栓连接结构半解析模型的过程， objective optimization.Acta Mech Solida Sin,2020.33(4):564 [13]Zha Y J,Zhang J F,Yu D W,et al.Modeling method for bolted 并推导出了快速求解半解析模型任意锤击点与拾 joint interfaces based on transversely isotropic virtual materials// 振点处频响函数的公式.最终的研究表明：用所创 2018 IEEElASME International Conference on Advanced 建的半解析模型计算获得的固有频率、模态振型 Intelligent Mechatronics (AIM).Auckland,2018:1118
点和拾振点位置，利用式（23）进行频响函数的计 算. 首先，利用反推辨识，对前 5 阶频响函数值依 次分配 0.3、0.2、0.1、0.1、0.3 的权重，设置种群数 量、变异概率、交叉概率、迭代次数为 50、0.05、 0.9 和 50，不断迭代模型中虚拟材料的耗能模量 值，使模型的频响函数曲线尽可能接近实测曲线， 完成迭代后，虚拟材料的耗能模量为 1.625×109 Pa. 接着用此耗能模量值获得最终的频响函数曲线并 与实测比对，见图 4. 从图中也可看出，仿真与实 测的频响函数也有较好的接近. 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 Simulation Measurement Amplitude/(m·s−1·N−1 ) 10−1 10−2 10−3 10−6 10−5 10−4 Frequency/Hz 图 4 实测与仿真频响函数对比 Fig.4 Comparison of the frequency response functions obtained based on the measured and simulated data 4 结论 （1）本文提出用复模量非均匀分布的虚拟材 料来模拟螺栓搭接部分的刚度及阻尼特性，并给 出详细的建模流程和方法. 实践表明本文采用假 定的正弦、抛物线和线性等非均匀变化的虚拟材 料模拟螺栓搭接部分，相比于均匀分布能够更加 精确地模拟螺栓连接结构的动力学特性. ED （2）采用虚拟材料模拟螺栓搭接部分，虚拟材 料的材料参数用复模量表示，可直接生成复数形 式的刚度矩阵，省却了常规建模中生成结合部阻 尼矩阵的步骤，在保证模型精确性的基础上，简化 了螺栓搭接部分的建模过程. 提出利用反推法辨 识虚拟材料的储能模量和耗能模量，其中储能模 量参数确定为其分布函数的最大值 ，耗能模量 取相同值. 通过所提出的反推辨识流程可较为精 确的确定虚拟材料的参数. （3）为了更好地实施所研发的建模理念以及 反推辨识确认虚拟材料的复模量参数，自行研发 了半解析程序. 重点描述了复模量非均匀分布的 虚拟材料引入螺栓连接结构半解析模型的过程， 并推导出了快速求解半解析模型任意锤击点与拾 振点处频响函数的公式. 最终的研究表明：用所创 建的半解析模型计算获得的固有频率、模态振型 以及频响函数值均与实验结果较为接近，从而证 明了提出的用复模量非均匀分布的虚拟材料模拟 螺栓影响区进而实施半解析建模可实现较高的仿 真计算精度. 参 考 文 献 Reid J D, Hiser N R. Detailed modeling of bolted joints with slippage. Finite Elem Anal Des, 2005, 41（6）: 547 [1] Sawa S, Ishimura M, Sekiguchi Y, et al. 3-D FEM stress analysis and mechanical characteristics in bolted joints under external tensile loadings//ASME 2015 International Mechanical Engineering Congress and Exposition. Houston, 2015: IMECE2015-50572, V02BT02A036 [2] Luyt P C B, Theron N J, Pietra F. Non-linear finite element modelling and analysis of the effect of gasket creep-relaxation on circular bolted flange connections. Int J Press Vessels Pip, 2017, 150: 52 [3] Zhang D C, Wang G, Huang F H, et al. Load-transferring mechanism and calculation theory along engaged threads of highstrength bolts under axial tension. J Constr Steel Res, 2020, 172: 106153 [4] Luan Y, Guan Z Q, Cheng G D, et al. A simplified nonlinear dynamic model for the analysis of pipe structures with bolted flange joints. J Sound Vib, 2012, 331（2）: 325 [5] Meisami F, Moavenian M, Afsharfard A. Nonlinear behavior of single bolted flange joints: A novel analytical model. Eng Struct, 2018, 173: 908 [6] Xiang J W, Zhao S W, Li D C, et al. An improved spring method for calculating the load distribution in multi-bolt composite joints. Composites Part B, 2017, 117: 1 [7] Deaner B J, Allen M S, Starr M J, et al. Application of viscous and Iwan modal damping models to experimental measurements from bolted structures. J Vib Acoust, 2015, 137（2）: 021012 [8] Li L, Cai A J, Ruan X G, et al. Stiffness modeling and characteristic analysis of bolted joints. J Vib Eng, 2017, 30（1）: 1 （李玲, 蔡安江, 阮晓光, 等. 栓接结合部刚度建模与特性分析. 振动工程学报, 2017, 30（1）：1） [9] Sun W, Li X Z, Han Q K. Nonlinear joint parameter identification for bolted beam structure. J Vib Eng, 2013, 26（2）: 185 （孙伟, 李星占, 韩清凯. 螺栓联接梁结构结合部非线性特性参 数辨识. 振动工程学报, 2013, 26（2）：185） [10] Iranzad M, Ahmadian H. Identification of nonlinear bolted lap joint models. Comput Struct, 2012, 96-97: 1 [11] Wang D, Fan X H. Nonlinear dynamic modeling for joint interfaces by combining equivalent linear mechanics with multiobjective optimization. Acta Mech Solida Sin, 2020, 33（4）: 564 [12] Zha Y J, Zhang J F, Yu D W, et al. Modeling method for bolted joint interfaces based on transversely isotropic virtual materials// 2018 IEEE/ASME International Conference on Advanced Intelligent Mechatronics (AIM). Auckland, 2018: 1118 [13] · 850 · 工程科学学报，第 43 卷，第 6 期
刘晓峰等：基于虚拟材料复模量非均匀分布的螺栓连接薄板结构半解析建模 851· [14]Yang Y,Cheng H,Liang B,et al.A novel virtual material layer [21]Chisari C,Bedon C,Amadio C.Dynamic and static identification model for predicting natural frequencies of composite bolted of base-isolated bridges using genetic algorithms.Eng Struct, joints.Chin Jeron,https://doi.org/10.1016/j.cja.2020.05.028 2015,102:80 [15]Shi K,Zhang G P.A parameterized model of fixed joint interface [22]Liu Q,Yang J P,Wang B L,et al.Genetic optimization model of based on virtual material.J Mech Sci Technol,2019,33(11):5209 steelmaking-continuous casting production scheduling based on [16]Ye H,Huang Y M.Li P Y,et al.Virtual material parameter the "fumace-caster coordinating"strategy.Chin J Eng,2020, acquisition based on the basic characteristics of the bolt joint 42(5):645 interfaces.Tribol Int,2016,95:109 (刘倩，杨建平，王柏琳，等.基于“炉-机对应”的炼钢-连铸生产 [17]Zhao Y S,Yang C,Cai L G,et al.Surface contact stress-based 调度问题遗传优化模型.工程科学学报，2020,42(5)：645) nonlinear virtual material method for dynamic analysis of bolted [23]Papkov S O,Banerjee J R.Dynamic stiffness formulation and free joint of machine tool.Precis Eng,2016,43:230 vibration analysis of specially orthotropic Mindlin plates with [18]Shi Y M,Sol H,Hua H X.Material parameter identification of arbitrary boundary conditions.J Sound Vib,2019,458:522 sandwich beams by an inverse method.J Sound Vib,2006,290 [24]Xue J,Wang Y F,Chen L H.Nonlinear vibration of cracked (3-5:1234 rectangular Mindlin plate with in-plane preload.J Sound Vib, [19]Gao Y,Sun W,Piao Y H,et al.Inverse identification of support 2020,481:115437 stiffness and damping of hoop based on measured FRF. [25]Mahi A,Bedia E AA,Tounsi A.A new hyperbolic shear Aerospace Power,2019,34(3):664 deformation theory for bending and free vibration analysis of (高晔，孙伟，朴玉华，等.基于实测频响函数反推管路卡箍支承 isotropic,functionally graded,sandwich and laminated composite 刚度与阻尼.航空动力学报，2019,34(3)：664) plates.Appl Math Modell,2015,39(9):2489 [20]Miller B,Ziemianski L.Optimization of dynamic behavior of thin- [26]Sun W,Wang Z,Yan X F,et al.Inverse identification of the walled laminated cylindrical shells by genetic algorithms and deep frequency-dependent mechanical parameters of viscoelastic neural networks supported by modal shape identification.Ad Eng materials based on the measured FRFs.Mech Syst Signal Process, Software,.2020,147:102830 2018,98:816
Yang Y, Cheng H, Liang B, et al. A novel virtual material layer model for predicting natural frequencies of composite bolted joints. Chin J Aeron, https://doi.org/10.1016/j.cja.2020.05.028 [14] Shi K, Zhang G P. A parameterized model of fixed joint interface based on virtual material. J Mech Sci Technol, 2019, 33（11）: 5209 [15] Ye H, Huang Y M, Li P Y, et al. Virtual material parameter acquisition based on the basic characteristics of the bolt joint interfaces. Tribol Int, 2016, 95: 109 [16] Zhao Y S, Yang C, Cai L G, et al. Surface contact stress-based nonlinear virtual material method for dynamic analysis of bolted joint of machine tool. Precis Eng, 2016, 43: 230 [17] Shi Y M, Sol H, Hua H X. Material parameter identification of sandwich beams by an inverse method. J Sound Vib, 2006, 290 （3-5）: 1234 [18] Gao Y, Sun W, Piao Y H, et al. Inverse identification of support stiffness and damping of hoop based on measured FRF. J Aerospace Power, 2019, 34（3）: 664 （高晔, 孙伟, 朴玉华, 等. 基于实测频响函数反推管路卡箍支承 刚度与阻尼. 航空动力学报, 2019, 34（3）：664） [19] Miller B, Ziemiański L. Optimization of dynamic behavior of thinwalled laminated cylindrical shells by genetic algorithms and deep neural networks supported by modal shape identification. Adv Eng Software, 2020, 147: 102830 [20] Chisari C, Bedon C, Amadio C. Dynamic and static identification of base-isolated bridges using genetic algorithms. Eng Struct, 2015, 102: 80 [21] Liu Q, Yang J P, Wang B L, et al. Genetic optimization model of steelmaking-continuous casting production scheduling based on the “ furnace-caster coordinating” strategy. Chin J Eng, 2020, 42（5）: 645 （刘倩, 杨建平, 王柏琳, 等. 基于“炉−机对应”的炼钢−连铸生产 调度问题遗传优化模型. 工程科学学报, 2020, 42（5）：645） [22] Papkov S O, Banerjee J R. Dynamic stiffness formulation and free vibration analysis of specially orthotropic Mindlin plates with arbitrary boundary conditions. J Sound Vib, 2019, 458: 522 [23] Xue J, Wang Y F, Chen L H. Nonlinear vibration of cracked rectangular Mindlin plate with in-plane preload. J Sound Vib, 2020, 481: 115437 [24] Mahi A, Bedia E A A, Tounsi A. A new hyperbolic shear deformation theory for bending and free vibration analysis of isotropic, functionally graded, sandwich and laminated composite plates. Appl Math Modell, 2015, 39（9）: 2489 [25] Sun W, Wang Z, Yan X F, et al. Inverse identification of the frequency-dependent mechanical parameters of viscoelastic materials based on the measured FRFs. Mech Syst Signal Process, 2018, 98: 816 [26] 刘晓峰等： 基于虚拟材料复模量非均匀分布的螺栓连接薄板结构半解析建模 · 851 ·