《工程科学学报》：基于鲁棒iHisub∞sub滤波的锂离子电池SOC估计

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工程科学学报 Chinese Journal of Engineering 基于鲁棒H滤波的锂离子电池S0C估计潘凤文弓栋梁高莹寇亚林 Lithium-ion battery state of charge estimation based on a robust H filter PAN Feng-wen,GONG Dong-liang.GAO ying.KOU Ya-lin 引用本文：潘凤文，弓栋梁，高莹，寇亚林.基于鲁棒H,滤波的锂离子电池s0C估计.工程科学学报，2021,43(5)：693-701.doi: 10.13374.issn2095-9389.2020.09.21.002 PAN Feng-wen,GONG Dong-liang,GAO ying.KOU Ya-lin.Lithium-ion battery state of charge estimation based on a robust H filter[J].Chinese Journal of Engineering,2021,43(5):693-701.doi:10.13374/j.issn2095-9389.2020.09.21.002 在线阅读View online:htps:/ldoi.org/10.13374j.issn2095-9389.2020.09.21.002 您可能感兴趣的其他文章 Articles you may be interested in 基于融合模型的锂离子电池荷电状态在线估计 Online estimation of the state of charge of a lithium-ion battery based on the fusion model 工程科学学报.2020,42(9)：1200 https:/1doi.org/10.13374.issn2095-9389.2019.09.20.001 无烟煤制备高性能锂离子电池负极材料的研究 High-performance anode materials based on anthracite for lithium-ion battery applications 工程科学学报.2020,42(7：884htps:/1doi.org10.13374.issn2095-9389.2019.07.11.005 锂离子电池安全性研究进展 Research progress on safety of lithium-ion batteries 工程科学学报.2018,40(8：901htps:/doi.org10.13374.issn2095-9389.2018.08.002 3D打印锂离子电池正极的制备及性能 Preparation and performance of 3D-printed positive electrode for lithium-ion battery 工程科学学报.2020,42(3)：358 https:1doi.org/10.13374.issn2095-9389.2019.10.09.006 微热管阵列应用于锂电池模块的散热实验 Experiment on heat dispersion of lithium-ion battery based on micro heat pipe array 工程科学学报.2018.40(1)：120 https:1doi.org10.13374.issn2095-9389.2018.01.015 等效循环电池组剩余使用寿命预测 Investigation of RUL prediction of lithium-ion battery equivalent cycle battery pack 工程科学学报.2020.42(6)：796 https:/doi.org10.13374.issn2095-9389.2019.07.03.003

基于鲁棒H∞滤波的锂离子电池SOC估计潘凤文弓栋梁高莹寇亚林 Lithium-ion battery state of charge estimation based on a robust H∞ filter PAN Feng-wen, GONG Dong-liang, GAO ying, KOU Ya-lin 引用本文: 潘凤文, 弓栋梁, 高莹, 寇亚林. 基于鲁棒H∞滤波的锂离子电池SOC估计[J]. 工程科学学报, 2021, 43(5): 693-701. doi: 10.13374/j.issn2095-9389.2020.09.21.002 PAN Feng-wen, GONG Dong-liang, GAO ying, KOU Ya-lin. Lithium-ion battery state of charge estimation based on a robust H∞ filter[J]. Chinese Journal of Engineering, 2021, 43(5): 693-701. doi: 10.13374/j.issn2095-9389.2020.09.21.002 在线阅读 View online: https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.09.21.002 您可能感兴趣的其他文章 Articles you may be interested in 基于融合模型的锂离子电池荷电状态在线估计 Online estimation of the state of charge of a lithium-ion battery based on the fusion model 工程科学学报. 2020, 42(9): 1200 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.09.20.001 无烟煤制备高性能锂离子电池负极材料的研究 High-performance anode materials based on anthracite for lithium-ion battery applications 工程科学学报. 2020, 42(7): 884 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.07.11.005 锂离子电池安全性研究进展 Research progress on safety of lithium-ion batteries 工程科学学报. 2018, 40(8): 901 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2018.08.002 3D打印锂离子电池正极的制备及性能 Preparation and performance of 3D-printed positive electrode for lithium-ion battery 工程科学学报. 2020, 42(3): 358 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.10.09.006 微热管阵列应用于锂电池模块的散热实验 Experiment on heat dispersion of lithium-ion battery based on micro heat pipe array 工程科学学报. 2018, 40(1): 120 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2018.01.015 等效循环电池组剩余使用寿命预测 Investigation of RUL prediction of lithium-ion battery equivalent cycle battery pack 工程科学学报. 2020, 42(6): 796 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.07.03.003

工程科学学报.第43卷，第5期：693-701.2021年5月 Chinese Journal of Engineering,Vol.43,No.5:693-701,May 2021 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.09.21.002;http://cje.ustb.edu.cn 基于鲁棒H滤波的锂离子电池SOC估计潘凤文2)，弓栋梁12，高莹12四，寇亚林2) 1)吉林大学汽车仿其与控制国家重点实验室，长春1300252)吉林大学汽车工程学院.长春130025 ☒通信作者，E-mail:gaoying@jlu.edu.cn 摘要荷电状态(State of charge.,SOC)估计是电池管理系统的核心功能之一，它在电动汽车的生命周期中起着重要作用.针对锂离子电池温度影响模型参数，进而导致SOC估计不准确的问题，本文提出了基于鲁棒H滤波的SOC估计方法.首先，以二阶Thevenin等效电路模型做为锂离子电池基础模型，并将温度对电池模型参数的影响建模为标称电阻值和电池总容量的加性变量，视温度变化为系统的外部扰动.其次，采用滑动线性法对电池模型进行线性化.并在此基础上运用线性矩阵不等式技术设计了对SOC进行估计的鲁棒H滤波器.最后，分别采用四种不同类型的动态电流激励进行仿真实验验证，并将 SOC的估计结果与kalman滤波对SOC的估计结果进行对比.结果表明所设计的鲁棒Hm滤波器能够实现对SOC更为准确的跟踪，同时对外部扰动具有较好的鲁棒性关键词锂离子电池：SOC估计：模型参数摄动：模型线性化：H滤波器分类号TM911.3 Lithium-ion battery state of charge estimation based on a robust H filter PAN Feng-wen2.GONG Dong-liang2),GAO ying2,KOU Ya-lin2) 1)State Key Laboratory of Automotive Simulation and Control,Jilin University,Changchun 130025,China 2)College of Automotive Engineering,Jilin University,Changchun 130025,China Corresponding author,E-mail:gaoying@jlu.edu.cn ABSTRACT The state of charge (SOC)estimation is one of the core functions of the battery management system;it can play a significant role in the life cycle of electric vehicles.The SOC estimation method has attracted considerable research attention in recent years,particularly about improving estimation accuracy.However,most studies are limited by only focusing on known or fixed battery model parameters and not considering their temperature dependence.This indicates a need to explore how the lithium-ion battery temperature affects the model parameters,which leads to inaccurate SOC estimation.The principal objective of this study is to investigate the robust filter-based method for the problem that temperature affects battery model parameters and thus leads to inaccurate SOC estimation.First,the second-order Thevenin equivalent circuit model with two parallel resistor-capacitor pairs is taken as the basic model of the lithium-ion battery.The influence of temperature on battery model parameters is modeled as an additive variable of the nominal resistance value and the total battery capacity,and the temperature change is considered an external disturbance of the system.Afterward,the sliding linear method is used to linearize this battery model;on this basis,a robust H filter for SOC estimation is designed using linear matrix inequality technology.Finally,the effectiveness of the proposed approach is verified using four different types of dynamic current load profiles(the BJDST-Beijing Dynamic Stress Test,FUDS-Federal Urban Driving Schedule, US06-US06 Highway Driving Schedule and BJDST-FUDS-US06 joint dynamic test)compared with the Kalman filter-based SOC estimation method.The simulation analysis results indicate that the proposed SOC estimation approach can realize a higher SOC estimation accuracy even if the model parameters vary with temperature,and it has good robustness to external disturbances. 收稿日期：2020-09-21 基金项目：国家重点研发计划资助项目(2016YFB0100300)

基于鲁棒 H∞滤波的锂离子电池 SOC 估计潘凤文1,2)，弓栋梁1,2)，高莹1,2) 苣，寇亚林1,2) 1) 吉林大学汽车仿真与控制国家重点实验室，长春 130025 2) 吉林大学汽车工程学院，长春 130025 苣通信作者，E-mail：gaoying@jlu.edu.cn 摘要荷电状态（State of charge, SOC）估计是电池管理系统的核心功能之一，它在电动汽车的生命周期中起着重要作用. 针对锂离子电池温度影响模型参数，进而导致 SOC 估计不准确的问题，本文提出了基于鲁棒 H∞滤波的 SOC 估计方法. 首先，以二阶 Thevenin 等效电路模型做为锂离子电池基础模型，并将温度对电池模型参数的影响建模为标称电阻值和电池总容量的加性变量，视温度变化为系统的外部扰动. 其次，采用滑动线性法对电池模型进行线性化，并在此基础上运用线性矩阵不等式技术设计了对 SOC 进行估计的鲁棒 H∞滤波器. 最后，分别采用四种不同类型的动态电流激励进行仿真实验验证，并将 SOC 的估计结果与 kalman 滤波对 SOC 的估计结果进行对比. 结果表明所设计的鲁棒 H∞滤波器能够实现对 SOC 更为准确的跟踪，同时对外部扰动具有较好的鲁棒性. 关键词锂离子电池；SOC 估计；模型参数摄动；模型线性化；H∞滤波器分类号 TM911.3 Lithium-ion battery state of charge estimation based on a robust H∞ filter PAN Feng-wen1,2) ，GONG Dong-liang1,2) ，GAO ying1,2) 苣，KOU Ya-lin1,2) 1) State Key Laboratory of Automotive Simulation and Control, Jilin University, Changchun 130025, China 2) College of Automotive Engineering, Jilin University, Changchun 130025, China 苣 Corresponding author, E-mail: gaoying@jlu.edu.cn ABSTRACT The state of charge (SOC) estimation is one of the core functions of the battery management system; it can play a significant role in the life cycle of electric vehicles. The SOC estimation method has attracted considerable research attention in recent years, particularly about improving estimation accuracy. However, most studies are limited by only focusing on known or fixed battery model parameters and not considering their temperature dependence. This indicates a need to explore how the lithium-ion battery temperature affects the model parameters, which leads to inaccurate SOC estimation. The principal objective of this study is to investigate the robust H∞ filter-based method for the problem that temperature affects battery model parameters and thus leads to inaccurate SOC estimation. First, the second-order Thevenin equivalent circuit model with two parallel resistor–capacitor pairs is taken as the basic model of the lithium-ion battery. The influence of temperature on battery model parameters is modeled as an additive variable of the nominal resistance value and the total battery capacity, and the temperature change is considered an external disturbance of the system. Afterward, the sliding linear method is used to linearize this battery model; on this basis, a robust H∞ filter for SOC estimation is designed using linear matrix inequality technology. Finally, the effectiveness of the proposed approach is verified using four different types of dynamic current load profiles (the BJDST-Beijing Dynamic Stress Test, FUDS-Federal Urban Driving Schedule, US06-US06 Highway Driving Schedule and BJDST-FUDS-US06 joint dynamic test) compared with the Kalman filter-based SOC estimation method. The simulation analysis results indicate that the proposed SOC estimation approach can realize a higher SOC estimation accuracy even if the model parameters vary with temperature, and it has good robustness to external disturbances. 收稿日期: 2020−09−21 基金项目: 国家重点研发计划资助项目（2016YFB0100300）工程科学学报，第 43 卷，第 5 期：693−701，2021 年 5 月 Chinese Journal of Engineering, Vol. 43, No. 5: 693−701, May 2021 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.09.21.002; http://cje.ustb.edu.cn

694 工程科学学报，第43卷，第5期 KEY WORDS lithium-ion battery;SOC estimation;model parameter perturbation;model linearization;H filter 锂离子电池能够提供较高的能量密度和比功池模型，该模型可用状态空间函数来表示，由大容率，没有记忆效应，具有较低的自放电率和较长的量电容的电压值和电容值来确定SOC.并在此模可循环使用寿命，且后续回收过程中对环境污染型基础上设计了对未知扰动和模型不确定性具有相对较少，这些特性使其成为目前新能源汽车的一定鲁棒性的H滤波器；其所设计的H滤波器重要动力源-)但随着锂离子电池在新能源汽车对SOC具有很好的估计性能.文献[18]采用与文中进一步广泛而深入的使用，其可靠性和安全性献[17刀中相同的等效电路模型，相较于文献[17刀，正在受越来越严苛的考验.电池管理系统(Battery 文献「181中设计了能够改善观测器响应速度的 management system,BMS)的核心目标就是获得表 H切换观测器，进一步提升了对SOC的估计性征锂电池可用容量的SOC,保证电动车辆安全有能.文献[9]和[19]均采用电化学锂离子电池模效的运行，并通过降低电压极限的不确定性来实型，并基于该模型设计了用于估计SOC的具有常现动力分配的优化，从而延长电池的使用寿命句值增益的龙伯格非线性观测器，以及一个改进的然而，目前锂离子电池可用的测量是电流、电压和输出雅可比矩阵加权增益的非线性观测器，其中温度，SOC不能直接测量-因此，准确估计观测器增益的设计均被转化为了求解LMI问题 $OC对保证锂电池的安全性和可靠性至关重要. 文献[20]采用二阶RC等效电路模型，把电池老化对于锂离子电池SOC的估计方法，目前可大建模为加性故障，并对锂离子电池模型进行了线致分为两类：无模型法（安时积分法、开路电压法）性化，设计了基于H观测器的故障估计器，从其和基于模型的方法]基于模型的SOC估计中，仿真结果来看，所设计的故障估计器对干扰具有常用的建模方式有黑箱模型、电化学模型、等效很好的鲁棒性，同时对老化故障具有很强的追踪电路模型等.黑箱模型通常使用传递函数来描述能力.文献21]采用与文献[20]中相同的锂离子电池的行为，无需重建其基本的物理化学过程，但电池模型，针对SOC的估计问题，采用LMI技术是该模型应用场景受限，且模型精度不高.电化学设计了基于H方法的非线性观测器.文献[22]针模型采用一组偏微分方程来构建整个物理化学过对锂离子电池$OC的估计误差收敛问题，设计了程的“时-空”动态变化，该模型中大量复杂的电化三种基于LMI技术的鲁棒龙伯格SOC观测器，并学方程计算耗时长，主要用于优化电池的物理设分别与传统的基于非线性等效电路模型的扩展卡计和电池相关的设计参数，表征电能产生的基本尔曼滤波器进行对比，对比结果表明，其设计的两机理等.等效电路模型一般可分为Thevenin模型种基于LMI的SOC观测器与广泛使用的扩展卡和阻抗模型两大类.这些基于电压源，电阻和电容尔曼滤波器具有相近的性能，并且设计方法更为组合的模型具有直观、实用和易于处理的特点，通简单.文献[23]~24均采用非线性分数阶锂离子常用于控制设计，且特别适合与其它电路或系统电池模型对$OC进行估计，不同之处是前者采用进行协同设计和协同仿真.Thevenin模型又可分二阶RC等效电路模型，并基于SOC估计误差动为一阶RC等效电路模型，考虑电压滞后的增强自力学方程，运用LMI技术来设计SOC观测器；后校正模型，以及二阶和高阶RC模型等者采用基于阻抗模型和分数阶卡尔曼滤波方法对在有关实时获取电池SOC的文献中，广泛采用 SOC进行估计基于模型的SOC估计方法进行研究.文献[14]采用综上可知，大多数文献在锂离子电池SOC估二阶RC等效电路模型，结合安时积分法与基于模计中选择与LMⅡ技术相结合，这样不仅可以简化型的方法对锂电池的$OC进行估计，其结果表明，设计过程，而且也保证了SOC的估计准确性和一该方法增强了对测量噪声的鲁棒性.文献[15]~[16) 定的鲁棒性.然而，针对锂离子电池模型参数随温针对离散化的锂离子电池二阶RC等效电路模型，度变动而产生摄动，进而影响SOC估计准确性的采用线性参变技术，设计了计算资源需求较少的问题讨论的并不多.因此，本文在前述工作基础之 SOC估计器，而且其所设计的估计器的稳定性可上，考虑电池温度波动对模型参数的影响，把温度由线性矩阵不等式(Linear matrix inequality,LMI) 对模型参数的影响方式建模为标称电阻值和电池技术来分析验证.文献[17刀采用大电容二阶RC电总容量的加性变量，并视温度变化为系统的外部

KEY WORDS lithium-ion battery；SOC estimation；model parameter perturbation；model linearization；H∞ filter 锂离子电池能够提供较高的能量密度和比功率，没有记忆效应，具有较低的自放电率和较长的可循环使用寿命，且后续回收过程中对环境污染相对较少，这些特性使其成为目前新能源汽车的重要动力源[1−3] . 但随着锂离子电池在新能源汽车中进一步广泛而深入的使用，其可靠性和安全性正在受越来越严苛的考验. 电池管理系统（Battery management system，BMS）的核心目标就是获得表征锂电池可用容量的 SOC，保证电动车辆安全有效的运行，并通过降低电压极限的不确定性来实现动力分配的优化，从而延长电池的使用寿命[4−6] . 然而，目前锂离子电池可用的测量是电流、电压和温度， SOC 不能直接测量 [7−8] . 因此，准确估计 SOC 对保证锂电池的安全性和可靠性至关重要. 对于锂离子电池 SOC 的估计方法，目前可大致分为两类：无模型法（安时积分法、开路电压法）和基于模型的方法[9−13] . 基于模型的 SOC 估计中，常用的建模方式有黑箱模型、电化学模型、等效电路模型等. 黑箱模型通常使用传递函数来描述电池的行为，无需重建其基本的物理化学过程，但是该模型应用场景受限，且模型精度不高. 电化学模型采用一组偏微分方程来构建整个物理化学过程的“时−空”动态变化，该模型中大量复杂的电化学方程计算耗时长，主要用于优化电池的物理设计和电池相关的设计参数，表征电能产生的基本机理等. 等效电路模型一般可分为 Thevenin 模型和阻抗模型两大类. 这些基于电压源，电阻和电容组合的模型具有直观、实用和易于处理的特点，通常用于控制设计，且特别适合与其它电路或系统进行协同设计和协同仿真. Thevenin 模型又可分为一阶 RC 等效电路模型，考虑电压滞后的增强自校正模型，以及二阶和高阶 RC 模型等. 在有关实时获取电池 SOC 的文献中，广泛采用基于模型的 SOC 估计方法进行研究. 文献 [14] 采用二阶 RC 等效电路模型，结合安时积分法与基于模型的方法对锂电池的 SOC 进行估计，其结果表明，该方法增强了对测量噪声的鲁棒性. 文献 [15]～[16] 针对离散化的锂离子电池二阶 RC 等效电路模型，采用线性参变技术，设计了计算资源需求较少的 SOC 估计器，而且其所设计的估计器的稳定性可由线性矩阵不等式（Linear matrix inequality，LMI）技术来分析验证. 文献 [17] 采用大电容二阶 RC 电池模型，该模型可用状态空间函数来表示，由大容量电容的电压值和电容值来确定 SOC. 并在此模型基础上设计了对未知扰动和模型不确定性具有一定鲁棒性的 H∞滤波器；其所设计的 H∞滤波器对 SOC 具有很好的估计性能. 文献 [18] 采用与文献 [17] 中相同的等效电路模型，相较于文献 [17]，文献 [18] 中设计了能够改善观测器响应速度的 H∞切换观测器，进一步提升了对 SOC 的估计性能. 文献 [9] 和 [19] 均采用电化学锂离子电池模型，并基于该模型设计了用于估计 SOC 的具有常值增益的龙伯格非线性观测器，以及一个改进的输出雅可比矩阵加权增益的非线性观测器，其中观测器增益的设计均被转化为了求解 LMI 问题. 文献 [20] 采用二阶 RC 等效电路模型，把电池老化建模为加性故障，并对锂离子电池模型进行了线性化，设计了基于 H∞观测器的故障估计器，从其仿真结果来看，所设计的故障估计器对干扰具有很好的鲁棒性，同时对老化故障具有很强的追踪能力. 文献 [21] 采用与文献 [20] 中相同的锂离子电池模型，针对 SOC 的估计问题，采用 LMI 技术设计了基于 H∞方法的非线性观测器. 文献 [22] 针对锂离子电池 SOC 的估计误差收敛问题，设计了三种基于 LMI 技术的鲁棒龙伯格 SOC 观测器，并分别与传统的基于非线性等效电路模型的扩展卡尔曼滤波器进行对比，对比结果表明，其设计的两种基于 LMI 的 SOC 观测器与广泛使用的扩展卡尔曼滤波器具有相近的性能，并且设计方法更为简单. 文献 [23]～[24] 均采用非线性分数阶锂离子电池模型对 SOC 进行估计，不同之处是前者采用二阶 RC 等效电路模型，并基于 SOC 估计误差动力学方程，运用 LMI 技术来设计 SOC 观测器；后者采用基于阻抗模型和分数阶卡尔曼滤波方法对 SOC 进行估计. 综上可知，大多数文献在锂离子电池 SOC 估计中选择与 LMI 技术相结合，这样不仅可以简化设计过程，而且也保证了 SOC 的估计准确性和一定的鲁棒性. 然而，针对锂离子电池模型参数随温度变动而产生摄动，进而影响 SOC 估计准确性的问题讨论的并不多. 因此，本文在前述工作基础之上，考虑电池温度波动对模型参数的影响，把温度对模型参数的影响方式建模为标称电阻值和电池总容量的加性变量，并视温度变化为系统的外部 · 694 · 工程科学学报，第 43 卷，第 5 期

潘凤文等：基于鲁棒H滤波的锂离子电池SOC估计 ·695· 扰动.然后，采用切线法对模型进行线性化，继而式中，Q为电池总容量，SOCo为电池的初始SOC 采用LMI技术设计了对SOC进行估计的鲁棒需要指出的是电池容量也会随着温度的升高而变 H滤波器.最后，采用四种不同类型的动态激励电化，从而影响SOC估计的准确性) 流，并与kalman滤波对SOC的估计进行对比，对大量试验表明，开路电压Uv与SOC在较大所设计的SOC观测器进行验证. 的工作区间内均存在一定的线性关系（除了$OC非 1锂离子电池建模常高或非常低的情况，小于20%或大于80%)4-1 因此，可以在特定的工作范围采用SOC的线性函锂离子电池的动态特性高度依赖于它的工作数来近似逼近开路电压.它们之间的函数关系具条件，具有时变参数的二阶RC等效电路模型可以有以下形式：足够精确的来表征锂电池系统特性，同时又相对 Uocy =a.SOC+b (4) 简单且计算量不大.因此，本文主要采用二阶RC 式中：a和b为给定的常量等效电路模型. 那么根据公式(4)，终端电压Ur与SOC的关 1.1电气模型系可表示为：表征锂离子电池动态特性的二阶RC等效电 UT=a.SOC+b-Rolc-U1-U2 (5) 路模型如图1所示所选用的电池模型参数如下表1所示0该模型参数的获取需要满足以下的条件：(1)T=40℃， 1I=1A,SOC=0.5;(2)电池模型的参数与温度、SOC、以及电流的大小和方向均无关表1电池模型参数 Table 1 Battery model parameters Ro/ R1/Q R2/Q C1/F C2/F Q/A-h)a b 因1等效电路模型 0.008670.01240.0123223941831 2.31/33.05 Fig.1 Equivalent circuit model 根据基尔霍夫电压定律，锂离子电池的二阶上述条件假设非常严格，大量的实际实验已 RC等效电路模型的动力学方程可表述为表明：电池模型参数对于诸如温度、$OC和充放电状态以及电流等环境状况的变化是很敏感的：其 dr RICI CI 中，温度对电池模型参数的影响最为显著6 dU2 U2 Ic (1) = + dt R2C2 C2 2模型线性化 UT Uocv-Rolc -U1-U2 由于温度对锂离子电池的模型参数具有较大式中：1代表时间，s;Ucv代表与SOC相关的开路的影响，因此，本文将温度对模型参数的影响方式电压（其为SOC的函数），V;。为进人或离开电池建模为标称电阻值和电池总容量的加性变量.其正极的电流（放电时为正，充电时为负），A;R,为具有如下形式：内阻，2：R和C1分别为电化学极化电阻(2)和电 R0=RnO+△R0 (6) 容(F);R2和C2分别为浓差极化电阻(2)和电容 R1=RnI+△R1 (7) (F):U1和U2分别代表电化学极化电容C和浓差 R2=Rn2+△R2 (8) 极化电容C2的电压，V:U1为端电压，V 1.2电池荷电状态模型 0=Q+△Q (9) 电池SOC的定义为可用容量(Ah)与电池的式中：R(i=0,1,2)分别表示Ro,R1,R2标称阻值；总容量的比值.简化的SOC估计模型如下： △R(i=0,1,2)表示由温度变化而引起的阻值变化； dSoc Ie (i=0,1,2)表示由温度变化而产生的最新阻值： d (2) △Q表示由温度变化引起的电池容量变化，Q表示 s0c=s0c-J台 (3) 由温度变化产生的最新容量为了方便计算，把温度变化△T视为外部扰动

扰动. 然后，采用切线法对模型进行线性化. 继而采用 LMI 技术设计了对 SOC 进行估计的鲁棒 H∞滤波器. 最后，采用四种不同类型的动态激励电流，并与 kalman 滤波对 SOC 的估计进行对比，对所设计的 SOC 观测器进行验证. 1 锂离子电池建模锂离子电池的动态特性高度依赖于它的工作条件，具有时变参数的二阶 RC 等效电路模型可以足够精确的来表征锂电池系统特性，同时又相对简单且计算量不大. 因此，本文主要采用二阶 RC 等效电路模型. 1.1 电气模型表征锂离子电池动态特性的二阶 RC 等效电路模型如图 1 所示. Uocv C1 R1 C2 R2 R0 + − Ic UT U1 U2 图 1 等效电路模型 Fig.1 Equivalent circuit model 根据基尔霍夫电压定律，锂离子电池的二阶 RC 等效电路模型的动力学方程可表述为              dU1 dt = − U1 R1C1 + Ic C1 dU2 dt = − U2 R2C2 + Ic C2 UT = Uocv −R0Ic −U1 −U2 （1）式中：t 代表时间，s；Uocv 代表与 SOC 相关的开路电压（其为 SOC 的函数），V；Ic 为进入或离开电池正极的电流（放电时为正，充电时为负），A；R0 为内阻，Ω；R1 和 C1 分别为电化学极化电阻（Ω）和电容（F）；R2 和 C2 分别为浓差极化电阻（Ω）和电容（F）；U1 和 U2 分别代表电化学极化电容 C1 和浓差极化电容 C2 的电压，V；UT 为端电压，V. 1.2 电池荷电状态模型电池 SOC 的定义为可用容量（A·h）与电池的总容量的比值. 简化的 SOC 估计模型如下： dSOC dt = − Ic Q （2） SOC = SOC0 − w Ic Q dt （3）式中，Q 为电池总容量，SOC0 为电池的初始 SOC. 需要指出的是电池容量也会随着温度的升高而变化，从而影响 SOC 估计的准确性[13] . 大量试验表明，开路电压 Uocv 与 SOC 在较大的工作区间内均存在一定的线性关系（除了 SOC 非常高或非常低的情况，小于 20% 或大于 80%） [14−15] . 因此，可以在特定的工作范围采用 SOC 的线性函数来近似逼近开路电压. 它们之间的函数关系具有以下形式： Uocv = a ·SOC+b （4）式中：a 和 b 为给定的常量. 那么根据公式（4），终端电压 UT 与 SOC 的关系可表示为： UT = a ·SOC+b−R0Ic −U1 −U2 （5） T = 40 所选用的电池模型参数如下表 1 所示[20] . 该模型参数的获取需要满足以下的条件：（1） ℃， Ic=1 A，SOC=0.5；（2）电池模型的参数与温度、SOC、以及电流的大小和方向均无关. 表 1 电池模型参数 Table 1 Battery model parameters R0 / Ω R1 / Ω R2 / Ω C1 / F C2 / F Q /(A·h) a b 0.00867 0.0124 0.0123 2239 41831 2.3 1/3 3.05 上述条件假设非常严格，大量的实际实验已表明：电池模型参数对于诸如温度、SOC 和充放电状态以及电流等环境状况的变化是很敏感的；其中，温度对电池模型参数的影响最为显著[16] . 2 模型线性化由于温度对锂离子电池的模型参数具有较大的影响，因此，本文将温度对模型参数的影响方式建模为标称电阻值和电池总容量的加性变量. 其具有如下形式： R˜ 0 = Rn0 + ∆R0 （6） R˜ 1 = Rn1 + ∆R1 （7） R˜ 2 = Rn2 + ∆R2 （8） Q˜ = Q+ ∆Q （9） Rni (i = 0,1,2) R0 R1 R2 ∆Ri (i = 0,1,2) R˜ i(i = 0,1,2) ∆Q Q˜ 式中：分别表示，，标称阻值；表示由温度变化而引起的阻值变化；表示由温度变化而产生的最新阻值；表示由温度变化引起的电池容量变化，表示由温度变化产生的最新容量. 为了方便计算，把温度变化 ∆T 视为外部扰动潘凤文等：基于鲁棒 H∞滤波的锂离子电池 SOC 估计 · 695 ·

·696 工程科学学报，第43卷，第5期 d,把电阻和容量随温度变化的关系式(6)~(9)进式中：x,为滤波器的状态向量；A,B,C,D,是待一步简化为以下线性形式：设计的适当维数的状态空间矩阵：sOC为SOC的 △Ro=lod (10) 估计值 △R1=I1d (11) 定义增广矩阵：=[王x,「，则滤波误差动态 △R2=2d (12) 方程为： △Q=l3d (13) 年=Ar+B。+Ei+Gyop (17) 式中：4，=0,1,2)表示阻值（或者容量）变化与温度乏=C+Dl+Fd-Dsyop 变化的比值20 把温度对模型参数的影响与系统(1)相结合，式中，A=1 &a-e B 则系统的非线性动力学方程可重新表述为： C=L-D.C -C:D=-D,D.F= 1 1=- -D,F,=SOC-SOC I(R+hd+C 对于系统(17)，根据有界实引理，那么存在一个对称正定矩阵P使得 X2=- Ca(Rn+hd+C (14) ATP+PA PB CT 1 -IδT 0 (18) Q+hdk *-y21 UT=a.SOC+b-(Rno+lod)le-x1-x2 式中，I为适当维数的单位矩阵，y是H性能指标，式中，1=U1,x2=U2,x3=SOC,选取状态向量x= “*”表示矩阵的对称转置.由于公式(18)中存在决 [x3,系统输出y=[Ur soc le d下策的变量的耦合，是一个非线性矩阵不等式.因选取稳态运行点：x1,p=0.124,x2op=0.123, 此，下面采用变量替换的方法使其转换为线性矩 x3.op=0.5.Ic.op 1,dop =0;=x-xop:Ie Ic-Ic.op 阵不等式.定义正定矩阵P及其逆矩阵具有以下 d=d-dop,j=y-yop采用滑动线性法（切线法），分解形式：在运行点处进行线性化，可得到鲁棒H滤波器设 P11 P2.pl= S11 S12 P= 由PP-l=L, 计所需的线性化模型：，S22 元=AF+Ble+Ed 可得 P11S11+P12ST2P11S12+P12S =C+Dle+Fd (15) PT2S11+P22ST2 PT2S12+P22S22 e1-163 式中，P11,P12,P22,S11,S12,S22均为适当维数的中 SOC=L 式中：=[下5=[0 soc I d. 间变量矩阵则有「-0.036 0 01 [0.0004 0 0 A= 0 -0.00190.B= .E= 0 P1S1+P12S72=1 (19) -0.4348 0 0 0 0.0174 3600 3600 PT2S11+P22ST2=0 (20) [-1 -1 1/3 1 -0.0087 0.0012 定义：J= Su Pu P12 0 0 0 C二 D- 0 那么可得P= 0 0 0 0 s0f P2 P22 100 0 1 S11 PuSu+P12ST2 L=[001 即 PJ- 3 鲁棒SOC估计器设计 I Pu 针对线性化系统(15)，设计一个渐近稳定的 H滤波器，实现对SOC的估计，使得传递函数（从对矩阵不等式(18)进行同余变换，左乘矩阵外部扰动到SOC估计误差)的H范数小于给定值 diag{J,L,,右乘矩阵diag{JL,,可得 y,该滤波器具有以下状态空间形式： JTPAJ+JATPJ JTPB JTCT is=Asxs+Bsy DT <0 (21) (16) SOC=Cxs+Dsy y21

d，把电阻和容量随温度变化的关系式（6）～（9）进一步简化为以下线性形式： ∆R0 = l0d （10） ∆R1 = l1d （11） ∆R2 = l2d （12） ∆Q = l3d （13） l 式中： i (i = 0,1,2) 表示阻值（或者容量）变化与温度变化的比值[20] . 把温度对模型参数的影响与系统（1）相结合，则系统的非线性动力学方程可重新表述为：    x˙1 = − 1 C1(Rn1 +l1d) x1 + Ic C1 x˙2 = − 1 C2(Rn2 +l2d) x2 + Ic C2 x˙3 = − 1 Q+l3d Ic UT = a ·SOC+b−(Rn0 +l0d)Ic − x1 − x2 （14） x1 = U1 x2 = U2 x3 = SOC x = [ x1 x2 x3 ]T y = [ UT SOC Ic d ]T 式中，，，，选取状态向量，系统输出 . x1,op = 0.124 x2,op = 0.123 x3,op = 0.5 Ic,op = 1 dop = 0 x¯ = x− xop ¯Ic = Ic − Ic,op d¯ = d −dop y¯ = y− yop 选取稳态运行点：，，，，；，，， . 采用滑动线性法（切线法），在运行点处进行线性化，可得到鲁棒 H∞滤波器设计所需的线性化模型：    x˙¯ = Ax¯ + B¯Ic + Ed¯ y¯ = Cx¯ + D¯Ic + Fd¯ SOC¯ = Lx¯ （15） x¯ = [ x¯1 x¯2 x¯3 ]T y¯ = [ U¯ T SOC¯ ¯Ic d¯ ]T A=   −0.036 0 0 0 −0.0019 0 0 0 0   B=   0.0004 0 −0.4348 3600   E=   0 0 0.0174 3600   C=   −1 −1 1/3 0 0 1 0 0 0 0 0 0   , D=   −0.0087 0 1 0   ,F=   0.0012 0 0 1   , L = [ 0 0 1 ]. 式中：，，，，， 3 鲁棒 SOC 估计器设计 γ 针对线性化系统（15），设计一个渐近稳定的 H∞滤波器，实现对 SOC 的估计，使得传递函数（从外部扰动到 SOC 估计误差）的 H∞范数小于给定值，该滤波器具有以下状态空间形式: { x˙s = Asxs + Bsy SOCˆ = Csxs + Dsy （16） xs As Bs Cs Ds SOCˆ 式中：为滤波器的状态向量；，，，是待设计的适当维数的状态空间矩阵；为 SOC 的估计值. x˜ = [ x x ¯ s ]T 定义增广矩阵，则滤波误差动态方程为：    ˙x˜ = A˜ x˜ + B˜ ¯Ic + E˜d¯+Gyop z˜ = C˜ x˜ + D˜ ¯Ic + F˜d¯− Dsyop （17） A˜ = [ A 0 BsC As ] B˜ = [ B Bs D ] E˜ = [ E BsF ] G = [ 0 Bs ] C˜ = [ L− DsC −Cs ] D˜ = −Ds D F˜ = −DsF z˜ = SOC−SOCˆ 式中，，，，，，，， . 对于系统（17），根据有界实引理，那么存在一个对称正定矩阵 P 使得   A˜T P+ PA P ˜ B˜ C˜ T ∗ −I D˜ T ∗ ∗ −γ 2 I   < 0 （18）式中，I 为适当维数的单位矩阵， γ 是 H∞性能指标， “*”表示矩阵的对称转置. 由于公式（18）中存在决策的变量的耦合，是一个非线性矩阵不等式. 因此，下面采用变量替换的方法使其转换为线性矩阵不等式. 定义正定矩阵 P 及其逆矩阵具有以下分解形式： P=   P11 P12 P T 12 P22   P −1 =   S11 S12 S T 12 S22   PP−1 = I   P11S11 + P12S T 12 P11S12 + P12S22 P T 12S11 + P22S T 12 P T 12S12 + P22S22   =   I 0 0 I   P11 P12 P22 S11 S12 S22 ，，由，可得，式中，，，，，，均为适当维数的中间变量矩阵. 则有 P11S11 + P12S T 12 = I （19） P T 12S11 + P22S T 12 = 0 （20） J =   S11 I S T 12 0   PJ =   P11 P12 P T 12 P22     S11 I S T 12 0   =   P11S11 + P12S T 12 P11 P T 12S11 + P22S T 12 P T 12   PJ =   I P11 0 P T 12   定义：，那么可得，即 . 对矩阵不等式（18）进行同余变换，左乘矩阵 diag{J T ，I，I}，右乘矩阵 diag{J，I，I}，可得   J T PAJ˜ + J TA˜T PJ JT PB J ˜ TC˜ T ∗ −I D˜ T ∗ ∗ −γ 2 I   < 0 （21） · 696 · 工程科学学报，第 43 卷，第 5 期

其中， J T PAJ˜ =   AS11 A P11AS11 + P12BsCS11 +P12AsS T 12 P11A+ P12BsC   , J T PB˜ =   B P11B+P12BsD   , J TC˜ T=   S11L T−S11C TD T s−S12C T s L T−C TD T s   . 则有   S11A+ A TS11 W0 B T0 ∗ V0 P11B+ P12Bs D L T −C T D T s ∗ ∗ −I D˜ T ∗ ∗ ∗ −γ 2 I   0 ，那么有 J T PJ = [ S11 I I P11 ] > 0 P11− S −1 11 > 0 ，应用 Schur 补，则有，即 X−Y > 0 （26）根据上述（18）～（26）的推导过程，可总结为如下的定理形式. γ > 0 Gz˜d¯ ∞ 0 （28） Gz˜d¯ ∞ < γ d¯ z˜ H∞ γ 式中：“*”表示矩阵的对称转置；表示从到的传递函数的性能指标小于给定值 . W =Y A+ A TX+C TZ T + MT T= L T −C T D T s − N T V= A TX+ XA+C TZ T + ZC ，， . 所设计的鲁棒 H∞滤波器可以通过求解以下优化问题得到： min X,Y,M,N,Z,Ds γ, s.t. (27),(28) （29） I− XY−1 = P12S T 12 P12 S12 As = P −1 12 Zˆ(S T 12) −1 Bs = P −1 12 Z Cs = Z˜(S T 12) −1 公式（29）中的半定规划问题可以通过 Matlab 中的第三方工具箱 Yalmip 进行求解，其中诸如 sedumi，sdpt3，mosek 等求解器都能处理以上的凸优化问题[25−26] . 由于 mosek 的计算速度、计算精度和稳定性等综合性能最为出色，且免费供学术使用，因此，本文中的线性矩阵不等式问题采用 mosek 求解器进行求解. 获得矩阵变量后，可根据公式（19），即的奇异值分解来获得矩阵和 . 进而，所获得的鲁棒 H∞滤波器的状态空间矩阵可表示为：，， . 4 仿真实验 γ = 5.7274×10−5 通过在 Matlab 中求解优化问题（29），获得干扰抑制性能指标 . 最终获得所设计的鲁棒 H∞滤波器状态空间矩阵分别为 As =   −0.0002 0.0047 −0.0069 −0.0080 −0.1062 0.1149 0.0124 0.0906 −0.1349   Bs =   −0.0010 −0.0003 −0.0169 0 0.0168 0.0074 0.1727 0 −0.0254 −0.0090 −0.3921 0   Cs = 10−4× ，，潘凤文等：基于鲁棒 H∞滤波的锂离子电池 SOC 估计 · 697 ·

698 工程科学学报，第43卷，第5期 0.0539-0.02960.1622,D,=0100.00011 0.52 仿真实验中给电流输入信号注入了能量为 0.51 0.001的白噪声，温度变动用幅值为40的正弦函数 0.50 进行模拟，仿真结果与kalman滤波对SOC的估计结果进行对比分析.采用四种类型的动态测试进 0.49 行仿真实验验证，其分别为BJDST(Beijing Dynamic 0.48 Stress Test)FUDS(Federal Urban Driving Schedule). 0.47 US06(US06 Highway Driving Schedule)BJDST- -Model output 0.46 -Hf五ter FUDS-US06联合驾驶时间表动态测试.一个完整 Kalman filter BJDST循环是916s,一个完整FUDS循环是1372s, 0.45 0 100200300400500600700800916 一个完整US06循环是600s.其完整循环时间历 Time/s 程如下图2，图3所示图4BDST激励的SOC估计 Fig.4 SOC estimation excited by BJDST 2 -BJDST 0 AMw 0.010 0100200300400500600700800916 0.005 Time/s -FUDS 0 MwrmtWhh 200 400 600800 100012001372 Time/s US06 -0.010 2 一H,filter Kalman filter 0 100200300400 500600 -0.01 Time/s 0100200300400500600700800916 Time/s 图2BDST,FUDS,US06动态测试时间历程 Fig.2 BJDST,FUDS,US06 dynamic test time history 因5 BJDST激励的SOC估计误差 Fig.5 SOC estimation error excited by BJDST -BJDST-FUDS-US06 0.52 0.50 0.48 号0.46 0.44 0.42 一Model output —H.filter Kalman filter 2 56 7 8910 0.40 Time/h 200 400 600800100012001372 Time/s 图3 BJDST-FUDS-US06联合动态测试时间历程 Fig.3 BJDST-FUDS-US06 joint dynamic test time history 图6FUDS激励的SOC估计 BJDST,FUDS和USO6动态激励下的基于H Fig.6 SOC estimation excited by FUDS 滤波的SOC估计和基于kalman滤波的SOC估计于鲁棒H滤波器的SOC估计时间历程曲线比基以及它们的SOC估计误差时间历程曲线如图4~ 于kalman滤波的SOC估计时间历程曲线更为接图9所示.其中蓝色实线表示模型输出，红色实线近模型输出值.图5中BDST动态激励下的表示H估计，绿色实线表示kalman估计 SOC估计误差表明，基于鲁棒H滤波器的SOC估从图4中可以看出，在BDST动态激励下，基计误差波动幅值小于基于kalman滤波的SOC估

[ 0.0539 −0.0296 0.1622 ] Ds = [ 0 1 0 0.0001 ] ， . 仿真实验中给电流输入信号注入了能量为 0.001 的白噪声，温度变动用幅值为 40 的正弦函数进行模拟，仿真结果与 kalman 滤波对 SOC 的估计结果进行对比分析. 采用四种类型的动态测试进行仿真实验验证，其分别为 BJDST (Beijing Dynamic Stress Test)、FUDS (Federal Urban Driving Schedule)、 US06 (US06 Highway Driving Schedule) 以及 BJDST− FUDS−US06 联合驾驶时间表动态测试. 一个完整 BJDST 循环是 916 s，一个完整 FUDS 循环是 1372 s，一个完整 US06 循环是 600 s. 其完整循环时间历程如下图 2，图 3 所示. 0 100 200 300 400 500 600 700 800 916 Time/s −2 0 2 Current/A BJDST 0 200 400 600 800 1000 1200 1372 Time/s −5 −3 0 3 5 Current/A FUDS 0 100 200 300 400 500 600 Time/s −4 −2 0 2 Current/A US06 图 2 BJDST，FUDS，US06 动态测试时间历程 Fig.2 BJDST, FUDS, US06 dynamic test time history 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Time/h BJDST-FUDS-US06 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 Current/A 图 3 BJDST−FUDS−US06 联合动态测试时间历程 Fig.3 BJDST−FUDS−US06 joint dynamic test time history BJDST，FUDS 和 US06 动态激励下的基于 H∞ 滤波的 SOC 估计和基于 kalman 滤波的 SOC 估计以及它们的 SOC 估计误差时间历程曲线如图 4～图 9 所示. 其中蓝色实线表示模型输出，红色实线表示 H∞估计，绿色实线表示 kalman 估计. 从图 4 中可以看出，在 BJDST 动态激励下，基于鲁棒 H∞滤波器的 SOC 估计时间历程曲线比基于 kalman 滤波的 SOC 估计时间历程曲线更为接近模型输出值 . 图 5 中 BJDST 动态激励下的 SOC 估计误差表明，基于鲁棒 H∞滤波器的 SOC 估计误差波动幅值小于基于 kalman 滤波的 SOC 估 0 100 200 300 400 500 600 700 800 916 Time/s 0.45 0.46 0.47 0.48 0.49 0.50 0.51 0.52 SOC Model output H∞ filter Kalman filter 图 4 BJDST 激励的 SOC 估计 Fig.4 SOC estimation excited by BJDST 0 100 200 300 400 500 600 700 800 916 Time/s −0.015 −0.010 −0.005 0 0.005 0.010 SOC estimation error H∞ filter Kalman filter 图 5 BJDST 激励的 SOC 估计误差 Fig.5 SOC estimation error excited by BJDST 0 200 400 600 800 1000 1200 1372 Time/s 0.40 0.42 0.44 0.46 0.48 0.50 0.52 SOC Model output H∞ filter Kalman filter 图 6 FUDS 激励的 SOC 估计 Fig.6 SOC estimation excited by FUDS · 698 · 工程科学学报，第 43 卷，第 5 期

潘凤文等：基于鲁棒H滤波的锂离子电池SOC估计 699 0.010 kalman滤波的SOC估计误差均方根值0.0041.图4，图5以及对应表2中的均方根值分析结果表明，即 0.005 使在电流信号存在干扰，电池温度持续波动并对模型参数产生一定影响的条件下，所设计的鲁棒 H滤波器依然能够实现对SOC的准确估计表2$OC估计及其估计误差的均方根值 Table 2 RMS value of SOC estimation and estimation error 0.010 一H filter Model output filter Kalman filter Kalman filter Dynamic test (RMS) (RMS) (RMS) -0.015 0 200400 600800100012001372 BJDST 0.4874 0.4879 0.4861 Time/s BJDST estimation error 0.0019 0.0041 图7FUDS激励的SOC估计误差 FUDS 0.4703 0.4704 0.4694 Fig.7 SOC estimation error excited by FUDS FUDS estimation error 0.0018 0.0036 0.52 US06 0.4991 0.4992 0.4986 US06 estimation error 0.0019 0.0043 0.51 BJDST-FUDS-US06 0.3186 0.3186 0.3175 0.50 BJDST-FUDS-US06 0.0022 0.0033 estimation error 月049 四种不同类型动态激励下的SOC估计，以及 0.48 SOC估计误差的均方根值(Root mean square,RMS) Model output 如下表2所示 0.47 Kalman filter BDST-FUDS-US06联合动态测试下的SOC估 0.46 100 200300400500600 计及其估计误差时间历程曲线如下图10~11所示 Time/s 0.6 图8US06激励的SOC估计 0.34 Fig.8 SOC estimation excited by US06 0.5 0.010 0. 0.4 4.32 4.36 0.005 03 0.2 0 0.1 Model output H filter Kalman filter 0 2 4 6 10 -0.010 Time/h H filter Kalman filter 图10BDST-FUDS-US06激励的SOC估计 0.01 0 Fig.10 SOC estimation excited by BJDST-FUDS-US06 100 200300400500600 Time/s 在FUDS动态激励下，图6中的SOC估计时图9US06激励的SOC估计误差间历程曲线表明相较于基于kalman滤波的SOC Fig.9 SOC estimation error excited by US06 估计，基于鲁棒H滤波器的SOC估计与模型输出计误差波动幅值.从表2中对应的均方根值对比较为接近.图7中的SOC估计误差时间历程曲线结果可以看出，基于鲁棒H滤波器的SOC估计比表明了基于鲁棒Hm滤波器的SOC估计误差波动模型输出大0.1%，而基于kalman滤波的SOC估计幅值比基于kalman滤波的SOC估计误差波动幅相较于模型输出小0.27%.基于鲁棒H滤波器的值要小.从表2中FUDS动态测试下的均方根值 SOC估计误差均方根值是0.0019，明显小于基于可以看出，基于鲁棒H滤波器的SOC估计的均方

计误差波动幅值. 从表 2 中对应的均方根值对比结果可以看出，基于鲁棒 H∞滤波器的 SOC 估计比模型输出大 0.1%，而基于 kalman 滤波的 SOC 估计相较于模型输出小 0.27%. 基于鲁棒 H∞滤波器的 SOC 估计误差均方根值是 0.0019，明显小于基于 kalman 滤波的 SOC 估计误差均方根值 0.0041. 图 4，图 5 以及对应表 2 中的均方根值分析结果表明，即使在电流信号存在干扰，电池温度持续波动并对模型参数产生一定影响的条件下，所设计的鲁棒 H∞滤波器依然能够实现对 SOC 的准确估计. 表 2 SOC 估计及其估计误差的均方根值 Table 2 RMS value of SOC estimation and estimation error Dynamic test Model output (RMS) H∞ filter (RMS) Kalman filter (RMS) BJDST 0.4874 0.4879 0.4861 BJDST estimation error 0.0019 0.0041 FUDS 0.4703 0.4704 0.4694 FUDS estimation error 0.0018 0.0036 US06 0.4991 0.4992 0.4986 US06 estimation error 0.0019 0.0043 BJDST−FUDS−US06 0.3186 0.3186 0.3175 BJDST−FUDS−US06 estimation error 0.0022 0.0033 四种不同类型动态激励下的 SOC 估计，以及 SOC 估计误差的均方根值（Root mean square，RMS）如下表 2 所示. BJDST−FUDS−US06 联合动态测试下的 SOC 估计及其估计误差时间历程曲线如下图 10～11 所示. 4.32 4.36 0.31 0.34 0 2 4 6 8 10 Time/h 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 SOC Model output H∞ filter Kalman filter 图 10 BJDST−FUDS−US06 激励的 SOC 估计 Fig.10 SOC estimation excited by BJDST−FUDS−US06 在 FUDS 动态激励下，图 6 中的 SOC 估计时间历程曲线表明相较于基于 kalman 滤波的 SOC 估计，基于鲁棒 H∞滤波器的 SOC 估计与模型输出较为接近. 图 7 中的 SOC 估计误差时间历程曲线表明了基于鲁棒 H∞滤波器的 SOC 估计误差波动幅值比基于 kalman 滤波的 SOC 估计误差波动幅值要小. 从表 2 中 FUDS 动态测试下的均方根值可以看出，基于鲁棒 H∞滤波器的 SOC 估计的均方 0 200 400 600 800 1000 1200 1372 Time/s −0.015 −0.010 −0.005 0 0.005 0.010 SOC estimation error H∞ filter Kalman filter 图 7 FUDS 激励的 SOC 估计误差 Fig.7 SOC estimation error excited by FUDS 0 100 200 300 400 500 600 Time/s 0.46 0.47 0.48 0.49 0.50 0.51 0.52 SOC Model output H∞ filter Kalman filter 图 8 US06 激励的 SOC 估计 Fig.8 SOC estimation excited by US06 0 100 200 300 400 500 600 Time/s −0.015 −0.010 −0.005 0 0.005 0.010 SOC estimation error H∞ filter Kalman filter 图 9 US06 激励的 SOC 估计误差 Fig.9 SOC estimation error excited by US06 潘凤文等：基于鲁棒 H∞滤波的锂离子电池 SOC 估计 · 699 ·

700 工程科学学报，第43卷，第5期 0.010 H滤波器的SOC估计误差均方根值0.0022.仿真实验与均方根值的对比结果表明，所设计的鲁棒 0.005 H滤波器不仅对外部扰动表现出了很好的鲁棒性，而且能够实现对SOC的强跟踪能力 5结论 -0.005 本文采用LMI技术设计了用于SOC估计的鲁 -0.010 棒H滤波器.该滤波器的设计考虑了锂离子电池 H filter Kalman filter 模型参数随温度变化产生摄动影响SOC估计准确 -0.015 2 4 6 8 10 性的问题.把电池温度变化对模型参数的影响方 Time/h 式建模为标称电阻值和电池总容量的加性变量，图11 BJDST-FUDS-US06US06激励的SOC估计误差并将电池温度变化看作系统的外部扰动.通过切 Fig.11 SOC estimation error excited by BJDST-FUDS-US06 线法对模型进行了线性化，并基于该线性化模型根值与模型输出的均方根值近乎一致，而基于设计了估计SOC的观测器.最后，采用四种不同 kalman滤波的SOC估计的均方根值相较于模型输类型的动态电流激励，并与kalman滤波对SOC的出的均方根值小0.21%.基于kalman滤波的SOC 估计结果进行仿真对比，其结果表明所设计的鲁估计误差均方根值0.0036明显大于基于鲁棒H 棒H滤波器不仅具有优异的SOC估计性能，而且滤波器的SOC估计误差均方根值0.0018.图6，对外部扰动表现出了很好的鲁棒性图7以及表2中相对应的FUDS激励下的均方根值分析对比结果表明，所设计的H滤波器不仅具参考文献有很好的鲁棒性，而且具有优异的SOC估计性能. [1]Wang X L,Jin H Q,Liu X Y.Online estimation of the state of 在US06动态激励下，图8中的SOC时间历程 charge of a lithium-ion battery based on the fusion model.Chin/ 曲线和图9中的SOC估计误差时间历程曲线表 Eng,2020,42(9):1200 明，与基于kalman滤波的SOC估计相比，基于鲁 (王晓兰，新皓晴，刘祥远.基于融合模型的锂离子电池荷电状态在线估计.工程科学学报，2020,42(9)：1200) 棒H滤波器的SOC估计更为接近模型输出值 [2]Su W,Zhong G B,Shen J N,et al.The progress in fault diagnosis 表2中对应的US06动态激励下的均方根值对比 techniques for lithium-ion batteries.Energy Storage Sci Technol, 结果表明，基于鲁棒H滤波器的SOC估计的均方 2019,8(2):225 根值与模型输出的均方根值几近一致，而基于kalman (苏伟，钟国彬，沈佳妮，等.锂离子电池故障诊断技术进展.储滤波的SOC估计的均方根值比模型输出的均方根能科学与技术，2019,8(2)：225) 值小0.1%.基于鲁棒H滤波器的SOC估计误差 [3]Liu X T,Sun Z C,He Y,et al.SOC estimation method based on 均方根值是0.0019，明显小于基于kalman滤波的 lithium-ion cell model considering environmental factors.J S0C估计误差均方根值0.0043.仿真实验与均方 Southeast Univ Nat Sci Ed,2017,47(2):306 根值的对比结果表明，所设计的H滤波器具有更 (刘新天，孙张驰，何耀，等.基于环境变量建模的锂电池SOC估计方法.东南大学学报（自然科学版），2017,47(2)：306) 为优异的SOC估计性能，同时具有很好的干扰抑 [4]Feng D W,Lu C,Chen Y,et.al.Battery state-of-charge online 制效果，即具有很强的鲁棒性， estimation based on H observer with current debasing and noise 在BDST-FUDS-US06联合动态测试下，图10 distributions.J Univ Electron Sci Technol China,2017,46(4):547 中接近10h的时间历程表明，H滤波和kalman滤 (冯代伟，陆超，陈勇，等.具有电流偏差和噪声扰动的H观测器波的时间历程均比较接近于模型输出结果.从在线估计电池SoC状态.电子科技大学学报，2017,46(4)：547) 图11中的SOC估计误差时间历程曲线中可以看 [5]Lin X F,Kim Y,Mohan S,et al.Modeling and estimation for 出，H估计误差比kalman滤波估计误差具有更小 advanced battery management.Ann Rev Control Rob Autonom 5S3,2019.2:393 的波动幅值.表2中对应的BDST-FUDS-US06联 [6]Miao Z X,Xu L,Disfani V R,et al.An SOC-based battery 合动态激励下的均方根值表明，H滤波与模型输 management system for microgrids.IEEE Trans Smart Grid,2014, 出的均方根值均为0.3186，而kalman滤波比模型 5(2):966 输出的均方根值小0.35%.基于kalman滤波的 [7]Tan F M.Zhao J J,Wang Q.A novel robust UKF algorithm for SOC估计误差均方根值0.0033明显大于基于鲁棒 SOC estimation of traction battery.Autom Eng,2019,41(8):944

根值与模型输出的均方根值近乎一致，而基于 kalman 滤波的 SOC 估计的均方根值相较于模型输出的均方根值小 0.21%. 基于 kalman 滤波的 SOC 估计误差均方根值 0.0036 明显大于基于鲁棒 H∞ 滤波器的 SOC 估计误差均方根值 0.0018. 图 6，图 7 以及表 2 中相对应的 FUDS 激励下的均方根值分析对比结果表明，所设计的 H∞滤波器不仅具有很好的鲁棒性，而且具有优异的 SOC 估计性能. 在 US06 动态激励下，图 8 中的 SOC 时间历程曲线和图 9 中的 SOC 估计误差时间历程曲线表明，与基于 kalman 滤波的 SOC 估计相比，基于鲁棒 H∞滤波器的 SOC 估计更为接近模型输出值. 表 2 中对应的 US06 动态激励下的均方根值对比结果表明，基于鲁棒 H∞滤波器的 SOC 估计的均方根值与模型输出的均方根值几近一致，而基于 kalman 滤波的 SOC 估计的均方根值比模型输出的均方根值小 0.1%. 基于鲁棒 H∞滤波器的 SOC 估计误差均方根值是 0.0019，明显小于基于 kalman 滤波的 SOC 估计误差均方根值 0.0043. 仿真实验与均方根值的对比结果表明，所设计的 H∞滤波器具有更为优异的 SOC 估计性能，同时具有很好的干扰抑制效果，即具有很强的鲁棒性. 在 BDST−FUDS−US06 联合动态测试下，图 10 中接近 10 h 的时间历程表明，H∞滤波和 kalman 滤波的时间历程均比较接近于模型输出结果. 从图 11 中的 SOC 估计误差时间历程曲线中可以看出，H∞估计误差比 kalman 滤波估计误差具有更小的波动幅值. 表 2 中对应的 BDST−FUDS−US06 联合动态激励下的均方根值表明，H∞滤波与模型输出的均方根值均为 0.3186，而 kalman 滤波比模型输出的均方根值小 0.35%. 基于 kalman 滤波的 SOC 估计误差均方根值 0.0033 明显大于基于鲁棒 H∞滤波器的 SOC 估计误差均方根值 0.0022. 仿真实验与均方根值的对比结果表明，所设计的鲁棒 H∞滤波器不仅对外部扰动表现出了很好的鲁棒性，而且能够实现对 SOC 的强跟踪能力. 5 结论本文采用 LMI 技术设计了用于 SOC 估计的鲁棒 H∞滤波器. 该滤波器的设计考虑了锂离子电池模型参数随温度变化产生摄动影响 SOC 估计准确性的问题. 把电池温度变化对模型参数的影响方式建模为标称电阻值和电池总容量的加性变量，并将电池温度变化看作系统的外部扰动. 通过切线法对模型进行了线性化，并基于该线性化模型设计了估计 SOC 的观测器. 最后，采用四种不同类型的动态电流激励，并与 kalman 滤波对 SOC 的估计结果进行仿真对比，其结果表明所设计的鲁棒 H∞滤波器不仅具有优异的 SOC 估计性能，而且对外部扰动表现出了很好的鲁棒性. 参考文献 Wang X L, Jin H Q, Liu X Y. Online estimation of the state of charge of a lithium-ion battery based on the fusion model. Chin J Eng, 2020, 42（9）: 1200 （王晓兰, 靳皓晴, 刘祥远. 基于融合模型的锂离子电池荷电状态在线估计. 工程科学学报, 2020, 42（9）：1200） [1] Su W, Zhong G B, Shen J N, et al. The progress in fault diagnosis techniques for lithium-ion batteries. Energy Storage Sci Technol, 2019, 8（2）: 225 （苏伟, 钟国彬, 沈佳妮, 等. 锂离子电池故障诊断技术进展. 储能科学与技术, 2019, 8（2）：225） [2] Liu X T, Sun Z C, He Y, et al. SOC estimation method based on lithium-ion cell model considering environmental factors. J Southeast Univ Nat Sci Ed, 2017, 47（2）: 306 （刘新天, 孙张驰, 何耀, 等. 基于环境变量建模的锂电池SOC估计方法. 东南大学学报 (自然科学版), 2017, 47（2）：306） [3] Feng D W, Lu C, Chen Y, et. al. Battery state-of-charge online estimation based on H∞ observer with current debasing and noise distributions. J Univ Electron Sci Technol China, 2017, 46（4）: 547 （冯代伟, 陆超, 陈勇, 等. 具有电流偏差和噪声扰动的H∞观测器在线估计电池SoC状态. 电子科技大学学报, 2017, 46（4）：547） [4] Lin X F, Kim Y, Mohan S, et al. Modeling and estimation for advanced battery management. Ann Rev Control Rob Autonom Syst, 2019, 2: 393 [5] Miao Z X, Xu L, Disfani V R, et al. An SOC-based battery management system for microgrids. IEEE Trans Smart Grid, 2014, 5（2）: 966 [6] Tan F M, Zhao J J, Wang Q. A novel robust UKF algorithm for SOC estimation of traction battery. Autom Eng, 2019, 41（8）: 944 [7] 0 2 4 6 8 10 Time/h −0.015 −0.010 −0.005 0 0.005 0.010 SOC estimation error H∞ filter Kalman filter 图 11 BJDST−FUDS−US06 US06 激励的 SOC 估计误差 Fig.11 SOC estimation error excited by BJDST−FUDS−US06 · 700 · 工程科学学报，第 43 卷，第 5 期

潘凤文等：基于鲁棒H滤波的锂离子电池SOC估计 ·701· (谈发明，赵俊杰，王琪.动力电池SOC估计的一种新型鲁棒 [17]Zhang Y,Zhang C H,Zhang X F.State-of-charge estimation of the UKF算法.汽车工程，2019,41(8)：944) lithium-ion battery system with time-varying parameter for hybrid [8]Cheng K W E,Divakar B P,Wu H J,et al.Battery-management electric vehicles.IET Control Theory Appl,2013,8(3):160 system (BMS)and SOC development for electrical vehicles.IEEE [18]Liu C Z,Zhu Q,Li L,et al.A state of charge estimation method Trans Veh Technol,2011,60(1)上：76 based on Hoo observer for switched systems of lithium-ion nickel- [9]Dey S.Ayalew B.Nonlinear observer designs for state-of-charge manganese-cobalt batteries.IEEE Trans Ind Electron,2017, estimation of lithium-ion batteries /2014 American Control 64(10):8128 Conference.Portland,2014:248 [19]Dey S,Ayalew B,Pisu P.Nonlinear robust observers for state-of- [10]Bhangu B S,Bentley P,Stone D A,et al.Nonlinear observers for charge estimation of lithium-ion cells based on a reduced predicting state-of-charge and state-of-health of lead-acid batteries electrochemical model.IEEE Trans Control Syst Technol,2015, for hybrid-electric vehicles.IEEE Trans Veh Technol,2005 23(5):1935 54(3):783 [20]Wang T H,Martinez-Molina J J,Sename O.H observer-based [11]He H W,Xiong R,Fan J X.Evaluation of lithium-ion battery battery fault estimation for HEV application.IFAC Proc Vol, equivalent circuit models for state of charge estimation by an 2012,45(30):206 experimental approach.Energies,2011,4(4):582 [21]Zhu Q,Li L,Hu X S,et al.H,-based nonlinear observer design for [12]Ding Z T.Deng T.LiZ F,et al.SOC estimation of lithium-ion state of charge estimation of lithium-ion battery with polynomial battery based on ampere hour integral and unscented Kalman filter. parameters.IEEE Trans Veh Technol,2017,66(12):10853 China Mech Eng,2020,31(15):1823 [22]Dreef H J,Beelen H P G J,Donkers M C F.LMI-based robust (丁镇涛，邓涛，李志飞，等.基于安时积分和无迹卡尔曼滤波的 observer design for battery state-of-charge estimation //2018 /EEE 锂离子电池SOC估算方法研究.中国机械工程，2020,31(15)： Conference on Decision and Control (CDC).Miami Beach,2018: 1823) 5716 [13]Jin B W,Qiao H M,Pan T H,et al.Lithium battery SOC [23]Wang B J,Liu Z Y,Li S E,et al.State-of-charge estimation for estimation based on interal resistance power consumption.Aufom Eng,2020,42(8):1008 lithium-ion batteries based on a nonlinear fractional model.IEEE (新博文，乔慧敏，潘天红，等.基于内阻功率消耗的锂电池 Trans Control Syst Technol,2017,25(1):3 S0C估计.汽车工程，2020,42(8)：1008) [24]Lu W,Xu D,Yang Q X,et al.Fractional model and state-of- [14]Codeca F,Savaresi S M,Rizzoni G.On battery state of charge charge of lithium battery.J Xi'an Jiaotong Univ,2017,51(7):124 estimation:A new mixed algorithm /2008 IEEE International (鲁伟，续丹，杨晴霞，等.锂电池分数阶建模与荷电状态研究 Conference on Control Applications.San Antonio,2008:102 西安交通大学学报，2017,51(7)：124) [15]Hu Y R,Yurkovich S.Battery state of charge estimation in [25]Lofberg J.YALMIP:A toolbox for modeling and optimization in automotive applications using LPV techniques /Proceedings of MATLAB /2004 IEEE International Conference on Robotics and the 2010 American Control Conference.Baltimore,2010:5043 Automation.New Orleans,2004:284 [16]Hu Y,Yurkovich S.Battery cell state-of-charge estimation using [26]Lofberg J.Modeling and solving uncertain optimization problems linear parameter varying system techniques.J Power Sources, in YALMIP II Proceedings of the 17th IFAC World Congress. 2012,198:338 Seoul,2008:1337

（谈发明, 赵俊杰, 王琪. 动力电池SOC估计的一种新型鲁棒 UKF算法. 汽车工程, 2019, 41（8）：944） Cheng K W E, Divakar B P, Wu H J, et al. Battery-management system (BMS) and SOC development for electrical vehicles. IEEE Trans Veh Technol, 2011, 60（1）: 76 [8] Dey S, Ayalew B. Nonlinear observer designs for state-of-charge estimation of lithium-ion batteries // 2014 American Control Conference. Portland, 2014: 248 [9] Bhangu B S, Bentley P, Stone D A, et al. Nonlinear observers for predicting state-of-charge and state-of-health of lead-acid batteries for hybrid-electric vehicles. IEEE Trans Veh Technol, 2005, 54（3）: 783 [10] He H W, Xiong R, Fan J X. Evaluation of lithium-ion battery equivalent circuit models for state of charge estimation by an experimental approach. Energies, 2011, 4（4）: 582 [11] Ding Z T, Deng T, Li Z F, et al. SOC estimation of lithium-ion battery based on ampere hour integral and unscented Kalman filter. China Mech Eng, 2020, 31（15）: 1823 （丁镇涛, 邓涛, 李志飞, 等. 基于安时积分和无迹卡尔曼滤波的锂离子电池SOC估算方法研究. 中国机械工程, 2020, 31（15）： 1823） [12] Jin B W, Qiao H M, Pan T H, et al. Lithium battery SOC estimation based on internal resistance power consumption. Autom Eng, 2020, 42（8）: 1008 （靳博文, 乔慧敏, 潘天红, 等. 基于内阻功率消耗的锂电池 SOC估计. 汽车工程, 2020, 42（8）：1008） [13] Codeca F, Savaresi S M, Rizzoni G. On battery state of charge estimation: A new mixed algorithm // 2008 IEEE International Conference on Control Applications. San Antonio, 2008: 102 [14] Hu Y R, Yurkovich S. Battery state of charge estimation in automotive applications using LPV techniques // Proceedings of the 2010 American Control Conference. Baltimore, 2010: 5043 [15] Hu Y, Yurkovich S. Battery cell state-of-charge estimation using linear parameter varying system techniques. J Power Sources, 2012, 198: 338 [16] Zhang Y, Zhang C H, Zhang X F. State-of-charge estimation of the lithium-ion battery system with time-varying parameter for hybrid electric vehicles. IET Control Theory Appl, 2013, 8（3）: 160 [17] Liu C Z, Zhu Q, Li L, et al. A state of charge estimation method based on H∞ observer for switched systems of lithium-ion nickelmanganese-cobalt batteries. IEEE Trans Ind Electron, 2017, 64（10）: 8128 [18] Dey S, Ayalew B, Pisu P. Nonlinear robust observers for state-ofcharge estimation of lithium-ion cells based on a reduced electrochemical model. IEEE Trans Control Syst Technol, 2015, 23（5）: 1935 [19] Wang T H, Martinez-Molina J J, Sename O. H∞ observer-based battery fault estimation for HEV application. IFAC Proc Vol, 2012, 45（30）: 206 [20] Zhu Q, Li L, Hu X S, et al. H∞-based nonlinear observer design for state of charge estimation of lithium-ion battery with polynomial parameters. IEEE Trans Veh Technol, 2017, 66（12）: 10853 [21] Dreef H J, Beelen H P G J, Donkers M C F. LMI-based robust observer design for battery state-of-charge estimation // 2018 IEEE Conference on Decision and Control (CDC). Miami Beach, 2018: 5716 [22] Wang B J, Liu Z Y, Li S E, et al. State-of-charge estimation for lithium-ion batteries based on a nonlinear fractional model. IEEE Trans Control Syst Technol, 2017, 25（1）: 3 [23] Lu W, Xu D, Yang Q X, et al. Fractional model and state-ofcharge of lithium battery. J Xi'an Jiaotong Univ, 2017, 51（7）: 124 （鲁伟, 续丹, 杨晴霞, 等. 锂电池分数阶建模与荷电状态研究. 西安交通大学学报, 2017, 51（7）：124） [24] Lofberg J. YALMIP: A toolbox for modeling and optimization in MATLAB // 2004 IEEE International Conference on Robotics and Automation. New Orleans, 2004: 284 [25] Löfberg J. Modeling and solving uncertain optimization problems in YALMIP // Proceedings of the 17th IFAC World Congress. Seoul, 2008: 1337 [26] 潘凤文等：基于鲁棒 H∞滤波的锂离子电池 SOC 估计 · 701 ·

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