848 工程科学学报，第43卷，第6期 式中：K和M分别为结构的复刚度矩阵和质量矩 阵，c是由待定常量c组成的自由振动响应向量， 可以表示为c=[c1I…c1s…c21…c2s…Crs…cs].同 时，需要说明的是：由于虚拟材料是按复模量引入 系统的，因而最初生成的刚度矩阵是复数，可表达 为K=KR+iK,KR和K分别为复刚度矩阵的实部 Vibration 和虚部.利用此式便可获得螺栓连接薄板结构的 pick-up point 固有频率和模态振型 Hammering 含激振力的螺栓连接薄板结构的运动方程为 point (K*-0M)X=F (19) 式中，X表示强迫振动响应向量，F为激振力向量 基于式(19)，螺栓连接薄板结构复频响函数 图3螺栓连接薄板结构实物图 Fig.3 Real structure of the bolted thin-plate structure 矩阵可表示为 r-g-K-dM' 表1螺栓连接薄板结构中板的相关材料及几何参数 (20) Table 1 Material and geometric parameters of the plate in a bolted thin 本文考虑利用振动幅值W(α，B)中的特征正交 plate structure 多项式构造锤击点与拾振点处的振型向量，并通 Length/Width/Thickness/Elastic modulus/ Density/Poisson's mm mm mm GPa (kg'm) ratio 过与复频响函数矩阵H之间的矩阵运算的方式获 120 120 2.4 200 7930 0.3 得对应于锤击点与拾振点间的频响函数，在确定 锤击点和拾振点位置后，利用式(14)分别构造激 螺栓预紧力影响着结合部的物理属性，预紧 振点和拾振点处的R×S维振型向量P1和p2 力的变化会对结合部的刚度和阻尼产生影响，进 P1=[P1(a1)P1(B1)…P1(a1)Ps(B1)…P2(a1)P1(B1)… 而会使得螺栓连接结构的固有特性产生一定变 P2(a1)Ps(B1)…P(a1)Ps(B1)…Pr(a1)Ps(B1】 化，本文重点描述建模方法，因而仅以一个定常预 (21) 紧力为例做研究.对每个螺栓均施加3Nm的预 P2=[P1(a2)P1(2)…P1(a2)Ps(2)…P2(a2)P1(B2)… 紧力，采用锤击法对该螺栓连接薄板结构进行固 P2(a2)Ps(B2)…P(a2)P,(B2)…PR(a2)Ps(B2】 (22) 有特性测试，测试中通过PCB SN30272力锤对薄 板连接结构施加宽频激励，使用Polytec PDV-lO0 式中，a1,B1表示激振点对应的量纲一的坐标值， 2,B2表示拾振点对应的量纲一的坐标值. 激光多普勒测振仪拾振，LMS SCSDAS数据采集 因此，对应激振点与拾振点处的频响函数可 分析仪用于获取激励及响应信号，最终由获取的 表示为 频响函数获得固有频率及模态振型.实验过程中， 拾振点如图3所示不变，在获取模态振型时，锤击 Hiz=9iH'p]=pl K"-0M (23) 点为图3中标注的所有节点，而图中突出标注的 此时求得的频响函数为复数，通过取绝对值 是下文所选取的频响函数在实验获取时的对应锤 即可得到模型在任一激振频率下的频响函数值 击点.相关测试结果列在后续的与理论分析相对 3实例研究 照的各图表中 3.2螺栓连接薄板结构半解析建模 3.1问题描述 两块连接薄板的搭接部分长为60mm,宽为 这部分以螺栓连接钢板为例，描述本文提出 120mm,按照式(2)~(4)，依次给与搭接部分复模 的用复模量非均匀变化的虚拟材料模拟搭接部 量以线性、抛物线、正弦分布，建立三种非均匀分 分的力学特性，进而完成整个结构的动力学建模 布下的螺栓连接薄板结构半解析模型.为了明确 与分析的方法.图3为所研究的螺栓连接薄板 用哪种分布形式更能提升分析模型的精度，在这 结构，其由两块钢板经两个M6外六角头螺栓紧固 里进行了对比研究.同时为了体现这种虚拟材料 连接构成，与所建半解析模型边界条件一致，其一 复模量非均匀分布建模理念的先进性，还对比了 端固定支撑在实验台上，相关几何及材料参数见 虚拟材料复模量均匀分布建模力学特性的结果 表1. 分别采用反推辨识技术，利用实测的前5阶固有c crs c = [c11 ··· c1s ··· c21 ··· c2s ··· crs ··· cRS ] T K ∗ = KR +iKI KR KI 式中：K *和 M 分别为结构的复刚度矩阵和质量矩 阵 ， 是由待定常量 组成的自由振动响应向量， 可以表示为 . 同 时，需要说明的是：由于虚拟材料是按复模量引入 系统的，因而最初生成的刚度矩阵是复数，可表达 为 ， 和 分别为复刚度矩阵的实部 和虚部. 利用此式便可获得螺栓连接薄板结构的 固有频率和模态振型. 含激振力的螺栓连接薄板结构的运动方程为 (K ∗ −ω 2M)X = F （19） 式中， X 表示强迫振动响应向量， F 为激振力向量. 基于式（19），螺栓连接薄板结构复频响函数 矩阵可表示为 H ∗ = X F = [ K ∗ −ω 2M ]−1 （20） W(α, β) H∗ R×S φ1 φ2 本文考虑利用振动幅值 中的特征正交 多项式构造锤击点与拾振点处的振型向量，并通 过与复频响函数矩阵 之间的矩阵运算的方式获 得对应于锤击点与拾振点间的频响函数，在确定 锤击点和拾振点位置后，利用式（14）分别构造激 振点和拾振点处的 维振型向量 和 φ1 = [P1(α1)P1(β1)···P1(α1)PS (β1)···P2(α1)P1(β1)··· P2(α1)PS (β1)···Pr(α1)Ps(β1)···PR(α1)PS (β1)] （21） φ2 = [P1(α2)P1(β2)···P1(α2)PS (β2)···P2(α2)P1(β2)··· P2(α2)PS (β2)···Pr(α2)Ps(β2)···PR(α2)PS (β2)] （22） α1 β1 α2 β2 式中， ， 表示激振点对应的量纲一的坐标值， ， 表示拾振点对应的量纲一的坐标值. 因此，对应激振点与拾振点处的频响函数可 表示为 H ∗ 12 = φ1H ∗φ T 2 = φ1 [ K ∗ −ω 2M ]−1 φ T 2 （23） 此时求得的频响函数为复数，通过取绝对值 即可得到模型在任一激振频率下的频响函数值. 3    实例研究 3.1    问题描述 这部分以螺栓连接钢板为例，描述本文提出 的用复模量非均匀变化的虚拟材料模拟搭接部 分的力学特性，进而完成整个结构的动力学建模 与分析的方法. 图 3 为所研究的螺栓连接薄板 结构，其由两块钢板经两个 M6 外六角头螺栓紧固 连接构成，与所建半解析模型边界条件一致，其一 端固定支撑在实验台上，相关几何及材料参数见 表 1. Vibration pick-up point Hammering point 图 3    螺栓连接薄板结构实物图 Fig.3    Real structure of the bolted thin-plate structure 表 1 螺栓连接薄板结构中板的相关材料及几何参数 Table 1   Material and geometric parameters of the plate in a bolted thin plate structure Length/ mm Width/ mm Thickness/ mm Elastic modulus/ GPa Density/ （kg·m−3） Poisson’s ratio 120 120 2.4 200 7930 0.3 螺栓预紧力影响着结合部的物理属性，预紧 力的变化会对结合部的刚度和阻尼产生影响，进 而会使得螺栓连接结构的固有特性产生一定变 化，本文重点描述建模方法，因而仅以一个定常预 紧力为例做研究. 对每个螺栓均施加 3 N·m 的预 紧力，采用锤击法对该螺栓连接薄板结构进行固 有特性测试，测试中通过 PCB SN 30272 力锤对薄 板连接结构施加宽频激励，使用 Polytec PDV-100 激光多普勒测振仪拾振，LMS SCSDAS 数据采集 分析仪用于获取激励及响应信号，最终由获取的 频响函数获得固有频率及模态振型. 实验过程中， 拾振点如图 3 所示不变，在获取模态振型时，锤击 点为图 3 中标注的所有节点，而图中突出标注的 是下文所选取的频响函数在实验获取时的对应锤 击点. 相关测试结果列在后续的与理论分析相对 照的各图表中. 3.2    螺栓连接薄板结构半解析建模 两块连接薄板的搭接部分长为 60 mm，宽为 120 mm，按照式（2）～（4），依次给与搭接部分复模 量以线性、抛物线、正弦分布，建立三种非均匀分 布下的螺栓连接薄板结构半解析模型. 为了明确 用哪种分布形式更能提升分析模型的精度，在这 里进行了对比研究. 同时为了体现这种虚拟材料 复模量非均匀分布建模理念的先进性，还对比了 虚拟材料复模量均匀分布建模力学特性的结果. 分别采用反推辨识技术，利用实测的前 5 阶固有 · 848 · 工程科学学报，第 43 卷，第 6 期