刘晓峰等：基于虚拟材料复模量非均匀分布的螺栓连接薄板结构半解析建模 849 频率，针对不同的虚拟材料复模量非均匀分布建模 表2反推法辨识获得的各分布状态下的虚拟材料储能模量 方式，确定虚拟材料的最大储能模量ED,其中对前 Table 2 Storage modulus of the virtual material for each distribution 5阶分配的权重依次为0.3、0.2、0.3、0.1、0.1，遗传算 obtained using the inverse identification technique 法中种群数量、变异概率、交叉概率、迭代次数依次 Complex modulus distribution of virtual materials Maximum storage modulus,Ep/Pa 设置为50、0.05、0.9和50，相关辨识结果见表2. Linear distribution 7.6×100 需要说明的是，表中的储能模量值是使对应 Parabola distribution 1.0835×10 分布下的模型达到最高模拟精度的量值.用此储 Sinusoidal distribution 1×10" 能模量值获得的螺栓连接薄板的前5阶固有频率 Uniform distribution 2.195×100 与实验的比对分别见表3. 表3各虚拟材料储能模量分布模型固有频率与实验固有颜率对比 Table 3 Comparison of the natural frequencies obtained using the virtual-material storage modulus distribution model and the experiment Natural Natural Natural Natural Natural Order frequencies of frequencies of Error/% Error/% frequencies of Error/% frequencies of Error/% parabola linear text/Hz sinusoidal uniform distribution/Hz distribution/Hz distribution/Hz distribution/Hz 1 55.537 56.933 2.51364 56.931 2.510038 56.9321 2.512019 56.9319 2.511659 2 197.793 189.6264 -4.12866 192.3208 -2.76663 189.9875 -3.9463 198.1551 0.18307 3 311.441 318.5184 2.272469 332.0858 6.6288 320.419 2.882729 357.1359 14.67209 4 619.969 616.2225 -0.6043 621.7815 0.292353 616.9306 -0.49009 635.7655 2.54795 5 881.62 865.2161 -1.86065 877.6824 -0.44663 866.8424 -1.67619 905.9436 2.758966 由表3各数据间的对比可以非常直观的看出 续求解螺栓连接板的模态振型.仿真计算获得的 虚拟材料储能模量均匀分布时模型的固有频率与 模态振型与实测值的比对见表5，可以看出两者的 实验的接近程度明显差于虚拟材料储能模量非均 振型基本一致 匀分布时的结果.进一步，利用均方根误差(RMSE) 方法2对比上述三种非均匀分布模拟时的各阶固 表5实验与仿真前5阶振型对照 有频率与实验的偏差，将表3中的数据代入到式 Table 5 Comparison of the first five experimental and simulated vibration modes (24),获得对应三种分布形式的仿真与实验前5阶 Order Vibration modes by testing Vibration modes by simulation 固有频率的RMSE,结果见表4. 表4各非均匀分布形式中仿真与实验前5阶固有频率的均方根误差 Table 4 Root mean square error (RMSE)of the first five natural experimental and simulated frequencies in various nonuniform distributions Nonuniform distribution RMSE value Linear distribution 3.411172 Parabola distribution 2.543903 Sinusoidal distribution 2.578504 通过表4中的RMSE对比可以看出，采用抛物 线分布时，模型前5阶固有频率与实验的接近程 度更好.故在后续分析时，对于本文的结构，均采 用虚拟材料储能模量按抛物线分布的模型进行 模拟. 3.3振动特性求解 由于要确定虚拟材料的耗能模量，接下来进 前一部分已描述了固有频率的求解，这里继 行模型频响函数的计算.参照图3中描述的激励ED 频率，针对不同的虚拟材料复模量非均匀分布建模 方式，确定虚拟材料的最大储能模量 ，其中对前 5 阶分配的权重依次为 0.3、0.2、0.3、0.1、0.1，遗传算 法中种群数量、变异概率、交叉概率、迭代次数依次 设置为 50、0.05、0.9 和 50，相关辨识结果见表 2. 需要说明的是，表中的储能模量值是使对应 分布下的模型达到最高模拟精度的量值. 用此储 能模量值获得的螺栓连接薄板的前 5 阶固有频率 与实验的比对分别见表 3. 表 3 各虚拟材料储能模量分布模型固有频率与实验固有频率对比 Table 3   Comparison of the natural frequencies obtained using the virtual-material storage modulus distribution model and the experiment Order Natural frequencies of text/Hz Natural frequencies of parabola distribution/Hz Error/% Natural frequencies of linear distribution/Hz Error/% Natural frequencies of sinusoidal distribution/Hz Error/% Natural frequencies of uniform distribution/Hz Error/% 1 55.537 56.933 2.51364 56.931 2.510038 56.9321 2.512019 56.9319 2.511659 2 197.793 189.6264 −4.12866 192.3208 −2.76663 189.9875 −3.9463 198.1551 0.18307 3 311.441 318.5184 2.272469 332.0858 6.6288 320.419 2.882729 357.1359 14.67209 4 619.969 616.2225 −0.6043 621.7815 0.292353 616.9306 −0.49009 635.7655 2.54795 5 881.62 865.2161 −1.86065 877.6824 −0.44663 866.8424 −1.67619 905.9436 2.758966 由表 3 各数据间的对比可以非常直观的看出 虚拟材料储能模量均匀分布时模型的固有频率与 实验的接近程度明显差于虚拟材料储能模量非均 匀分布时的结果. 进一步，利用均方根误差（RMSE） 方法[26] 对比上述三种非均匀分布模拟时的各阶固 有频率与实验的偏差，将表 3 中的数据代入到式 （24），获得对应三种分布形式的仿真与实验前 5 阶 固有频率的 RMSE，结果见表 4. 表 4 各非均匀分布形式中仿真与实验前 5 阶固有频率的均方根误差 Table  4    Root  mean  square  error  (RMSE)  of  the  first  five  natural experimental  and  simulated  frequencies  in  various  nonuniform distributions Nonuniform distribution RMSE value Linear distribution 3.411172 Parabola distribution 2.543903 Sinusoidal distribution 2.578504 通过表 4 中的 RMSE 对比可以看出，采用抛物 线分布时，模型前 5 阶固有频率与实验的接近程 度更好. 故在后续分析时，对于本文的结构，均采 用虚拟材料储能模量按抛物线分布的模型进行 模拟. 3.3    振动特性求解 前一部分已描述了固有频率的求解，这里继 续求解螺栓连接板的模态振型. 仿真计算获得的 模态振型与实测值的比对见表 5，可以看出两者的 振型基本一致. 表 5 实验与仿真前 5 阶振型对照 Table  5    Comparison  of  the  first  five  experimental  and  simulated vibration modes Order Vibration modes by testing Vibration modes by simulation 1 2 3 4 5 由于要确定虚拟材料的耗能模量，接下来进 行模型频响函数的计算. 参照图 3 中描述的激励 表 2    反推法辨识获得的各分布状态下的虚拟材料储能模量 Table 2    Storage  modulus  of  the  virtual  material  for  each  distribution obtained using the inverse identification technique Complex modulus distribution of virtual materials Maximum storage modulus, ED/Pa Linear distribution 7.6 × 1010 Parabola distribution 1.0835 × 1011 Sinusoidal distribution 1 × 1011 Uniform distribution 2.195 × 1010 刘晓峰等： 基于虚拟材料复模量非均匀分布的螺栓连接薄板结构半解析建模 · 849 ·