850 工程科学学报，第43卷，第6期 点和拾振点位置，利用式(23)进行频响函数的计 以及频响函数值均与实验结果较为接近，从而证 算，首先，利用反推辨识，对前5阶频响函数值依 明了提出的用复模量非均匀分布的虚拟材料模拟 次分配0.3、0.2、0.1、0.1、0.3的权重，设置种群数 螺栓影响区进而实施半解析建模可实现较高的仿 量、变异概率、交叉概率、迭代次数为50、0.05、 真计算精度 0.9和50，不断迭代模型中虚拟材料的耗能模量 值，使模型的频响函数曲线尽可能接近实测曲线， 参考文献 完成迭代后，虚拟材料的耗能模量为1.625×10°Pa [1]Reid J D,Hiser N R.Detailed modeling of bolted joints with 接着用此耗能模量值获得最终的频响函数曲线并 slippage.Finite Elem Anal Des,2005,41(6):547 [2] 与实测比对，见图4.从图中也可看出，仿真与实 Sawa S,Ishimura M,Sekiguchi Y,et al.3-D FEM stress analysis and mechanical characteristics in bolted joints under external 测的频响函数也有较好的接近 tensile loadings//ASME 2015 International Mechanical Engineering Congress and Exposition.Houston,2015: Simulation Measurement IMECE2015-50572,V02BT02A036 [3] Luyt P C B,Theron N J,Pietra F.Non-linear finite element modelling and analysis of the effect of gasket creep-relaxation on 10- circular bolted flange connections.IntJ Press Vessels Pip,2017, 15052 106 [4] Zhang D C,Wang G,Huang F H,et al.Load-transferring 01002003004005006007008009001000 Frequency/Hz mechanism and calculation theory along engaged threads of high- strength bolts under axial tension.J Constr Steel Res,2020,172 图4实测与仿真频响函数对比 106153 Fig.4 Comparison of the frequency response functions obtained based on the measured and simulated data [5] Luan Y,Guan Z Q,Cheng G D,et al.A simplified nonlinear dynamic model for the analysis of pipe structures with bolted 4 结论 flange joints.J Sound Vib,2012,331(2):325 [6] Meisami F,Moavenian M,Afsharfard A.Nonlinear behavior of (1)本文提出用复模量非均匀分布的虚拟材 single bolted flange joints:A novel analytical model.Eng Struct, 料来模拟螺栓搭接部分的刚度及阻尼特性，并给 2018,173:908 出详细的建模流程和方法.实践表明本文采用假 [7] Xiang J W,Zhao S W,Li D C,et al.An improved spring method 定的正弦、抛物线和线性等非均匀变化的虚拟材 for calculating the load distribution in multi-bolt composite joints Composites Part B,2017,117:1 料模拟螺栓搭接部分，相比于均匀分布能够更加 [8]Deaner B J,Allen M S,Starr M J,et al.Application of viscous and 精确地模拟螺栓连接结构的动力学特性 Iwan modal damping models to experimental measurements from (2)采用虚拟材料模拟螺栓搭接部分，虚拟材 bolted structures.J Vib Acoust,2015,137(2):021012 料的材料参数用复模量表示，可直接生成复数形 [9]Li L,Cai A J,Ruan X G,et al.Stiffness modeling and 式的刚度矩阵，省却了常规建模中生成结合部阻 characteristic analysis of bolted joints.JVib Eng,2017,30(1):1 尼矩阵的步骤，在保证模型精确性的基础上，简化 (李玲，蔡安江，阮晓光，等.栓接结合部刚度建模与特性分析 了螺栓搭接部分的建模过程.提出利用反推法辨 振动工程学报，2017,30(1)：1) [10]Sun W,Li X Z,Han Q K.Nonlinear joint parameter identification 识虚拟材料的储能模量和耗能模量，其中储能模 for bolted beam structure.J Vib Eng,2013,26(2):185 量参数确定为其分布函数的最大值ED,耗能模量 (孙伟，李星占，韩清凯螺栓联接梁结构结合部非线性特性参 取相同值.通过所提出的反推辨识流程可较为精 数辨识振动工程学报，2013,26(2)：185) 确的确定虚拟材料的参数 [11]Iranzad M,Ahmadian H.Identification of nonlinear bolted lap (3)为了更好地实施所研发的建模理念以及 joint models.Comput Struct,2012,96-97:1 反推辨识确认虚拟材料的复模量参数，自行研发 [12]Wang D,Fan X H.Nonlinear dynamic modeling for joint 了半解析程序.重点描述了复模量非均匀分布的 interfaces by combining equivalent linear mechanics with multi 虚拟材料引入螺栓连接结构半解析模型的过程， objective optimization.Acta Mech Solida Sin,2020.33(4):564 [13]Zha Y J,Zhang J F,Yu D W,et al.Modeling method for bolted 并推导出了快速求解半解析模型任意锤击点与拾 joint interfaces based on transversely isotropic virtual materials// 振点处频响函数的公式.最终的研究表明：用所创 2018 IEEElASME International Conference on Advanced 建的半解析模型计算获得的固有频率、模态振型 Intelligent Mechatronics (AIM).Auckland,2018:1118点和拾振点位置，利用式（23）进行频响函数的计 算. 首先，利用反推辨识，对前 5 阶频响函数值依 次分配 0.3、0.2、0.1、0.1、0.3 的权重，设置种群数 量、变异概率、交叉概率、迭代次数为 50、0.05、 0.9 和 50，不断迭代模型中虚拟材料的耗能模量 值，使模型的频响函数曲线尽可能接近实测曲线， 完成迭代后，虚拟材料的耗能模量为 1.625×109 Pa. 接着用此耗能模量值获得最终的频响函数曲线并 与实测比对，见图 4. 从图中也可看出，仿真与实 测的频响函数也有较好的接近. 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 Simulation Measurement Amplitude/(m·s−1·N−1 ) 10−1 10−2 10−3 10−6 10−5 10−4 Frequency/Hz 图 4    实测与仿真频响函数对比 Fig.4    Comparison of the frequency response functions obtained based on the measured and simulated data 4    结论 （1）本文提出用复模量非均匀分布的虚拟材 料来模拟螺栓搭接部分的刚度及阻尼特性，并给 出详细的建模流程和方法. 实践表明本文采用假 定的正弦、抛物线和线性等非均匀变化的虚拟材 料模拟螺栓搭接部分，相比于均匀分布能够更加 精确地模拟螺栓连接结构的动力学特性. ED （2）采用虚拟材料模拟螺栓搭接部分，虚拟材 料的材料参数用复模量表示，可直接生成复数形 式的刚度矩阵，省却了常规建模中生成结合部阻 尼矩阵的步骤，在保证模型精确性的基础上，简化 了螺栓搭接部分的建模过程. 提出利用反推法辨 识虚拟材料的储能模量和耗能模量，其中储能模 量参数确定为其分布函数的最大值 ，耗能模量 取相同值. 通过所提出的反推辨识流程可较为精 确的确定虚拟材料的参数. （3）为了更好地实施所研发的建模理念以及 反推辨识确认虚拟材料的复模量参数，自行研发 了半解析程序. 重点描述了复模量非均匀分布的 虚拟材料引入螺栓连接结构半解析模型的过程， 并推导出了快速求解半解析模型任意锤击点与拾 振点处频响函数的公式. 最终的研究表明：用所创 建的半解析模型计算获得的固有频率、模态振型 以及频响函数值均与实验结果较为接近，从而证 明了提出的用复模量非均匀分布的虚拟材料模拟 螺栓影响区进而实施半解析建模可实现较高的仿 真计算精度. 参    考    文    献 Reid  J  D,  Hiser  N  R.  Detailed  modeling  of  bolted  joints  with slippage. Finite Elem Anal Des, 2005, 41（6）: 547 [1] Sawa S, Ishimura M, Sekiguchi Y, et al. 3-D FEM stress analysis and  mechanical  characteristics  in  bolted  joints  under  external tensile  loadings//ASME 2015 International Mechanical Engineering Congress and Exposition.  Houston,  2015: IMECE2015-50572, V02BT02A036 [2] Luyt  P  C  B,  Theron  N  J,  Pietra  F.  Non-linear  finite  element modelling and analysis of the effect of gasket creep-relaxation on circular bolted flange connections. Int J Press Vessels Pip, 2017, 150: 52 [3] Zhang  D  C,  Wang  G,  Huang  F  H,  et  al.  Load-transferring mechanism and calculation theory along engaged threads of high￾strength bolts under axial tension. J Constr Steel Res, 2020, 172: 106153 [4] Luan  Y,  Guan  Z  Q,  Cheng  G  D,  et  al.  A  simplified  nonlinear dynamic  model  for  the  analysis  of  pipe  structures  with  bolted flange joints. J Sound Vib, 2012, 331（2）: 325 [5] Meisami  F,  Moavenian  M,  Afsharfard  A.  Nonlinear  behavior  of single bolted flange joints: A novel analytical model. Eng Struct, 2018, 173: 908 [6] Xiang J W, Zhao S W, Li D C, et al. An improved spring method for calculating the load distribution in multi-bolt composite joints. Composites Part B, 2017, 117: 1 [7] Deaner B J, Allen M S, Starr M J, et al. Application of viscous and Iwan modal damping models to experimental measurements from bolted structures. J Vib Acoust, 2015, 137（2）: 021012 [8] Li  L,  Cai  A  J,  Ruan  X  G,  et  al.  Stiffness  modeling  and characteristic analysis of bolted joints. J Vib Eng, 2017, 30（1）: 1 （李玲, 蔡安江, 阮晓光, 等. 栓接结合部刚度建模与特性分析. 振动工程学报, 2017, 30（1）：1） [9] Sun W, Li X Z, Han Q K. Nonlinear joint parameter identification for bolted beam structure. J Vib Eng, 2013, 26（2）: 185 （孙伟, 李星占, 韩清凯. 螺栓联接梁结构结合部非线性特性参 数辨识. 振动工程学报, 2013, 26（2）：185） [10] Iranzad  M,  Ahmadian  H.  Identification  of  nonlinear  bolted  lap joint models. Comput Struct, 2012, 96-97: 1 [11] Wang  D,  Fan  X  H.  Nonlinear  dynamic  modeling  for  joint interfaces  by  combining  equivalent  linear  mechanics  with  multi￾objective optimization. Acta Mech Solida Sin, 2020, 33（4）: 564 [12] Zha Y J, Zhang J F, Yu D W, et al. Modeling method for bolted joint  interfaces  based  on  transversely  isotropic  virtual  materials// 2018 IEEE/ASME International Conference on Advanced Intelligent Mechatronics (AIM). Auckland, 2018: 1118 [13] · 850 · 工程科学学报，第 43 卷，第 6 期