厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.771.116;域名: gdjpkc. xmu.edu.cn §5.4因式分解 教学目的与要求熟练掌握不可约因式的基本性质,掌握基本分解定理的存在性 与唯一性的证明方法,熟练利用标准分解式解决相关问题,理解重因式的概念与判 定方法 不可约多项式 定义设∫(x)∈K[],degf(x)>0.若f(x)=9(x)h(x),其中degg(x),degh(x)< degf(x)则称∫(x)在K上可约.否则称f(x)为不可约多项式 注1f(x)∈K[],对于0≠c∈K,f(x)=c(c-f(x).所以,若p(x)不可约 其因子只有cp(x)或c 注2多项式的不可约与数域有关.x2+1在R上不可约,在C可约 设K1,K2是数域且K2≌K1,p(x)∈K2{且p(x)在K1{z]上不可约,则p(x)在 K2[]也不可约 注3 可约多项式deg(x)>0 多项式不可约多项式dg()>0 非零常数多项式degg(x)=0 0 deg g(a) 不可约多项式有下面性质 性质1设f(x),p(x)∈K[X]且p(x)是不可约多项式,则或p(x)f(x)或 (P(x),f(x)=1 证明设(p(x),f(x)=d(x),则d(x)p(x).所以d(x)=1或d(x)=cp(x),这里 c-1为p(x)的首项系数.若d(x)=cp(x),则p(x)f(x).口 性质2设p(x),f(x),(x)∈K[X],p(x)不可约多项式,且p(x川∫(x)g(x),则或 p(x)f(x)或p(x)g(x) 证明若p(x)十f(x),由性质1,(p(x),f(x)=1.又p(x)f(x)9(x),由互素多项 式的性质知p(x)g(x).口"d-5"K F IP #N 59.77.1.116; Ah gdjpkc.xmu.edu.cn §5.4 72N \faZig [G UB7!D)P￾GD2N&W!D) ?2)!Jg/-￾ [Y9 T2NNR%;￾WNR7!4o?p &/-
2
UB*& [h ~ f(x) ∈ K[x], degf(x) > 0. { f(x) = g(x)h(x), qQ degg(x), degh(x) < degf(x), E f(x) D K }UB
3E f(x)  UB*&
l 1 f(x) ∈ K[x], (> 0 6= c ∈ K, f(x) = c(c −1f(x)). 4￾{ p(x) UB￾ q7UO; cp(x) C c. l 2 *&! UB? ;;
x 2 + 1 D R[x] } UB￾D C[x] UB ~ K1, K2  r K2 ⊆ K1, p(x) ∈ K2[x] r p(x) D K1[x] } UB￾E p(x) D K2[x] 0 UB
l 3 *&    UB*& degg(x) > 0 UB*& degg(x) > 0 1^Æ *& deg g(x) = 0 0 deg g(x) = −∞ UB*&;!f)P
ek 1 ~ f(x), p(x) ∈ K[X] r p(x)  UB*&￾EC p(x)|f(x) C ((p(x), f(x)) = 1. j_ ~ (p(x), f(x)) = d(x), E d(x)|p(x). 4 d(x) = 1 C d(x) = cp(x), HX c −1  p(x) !&
{ d(x) = cp(x), E p(x)|f(x). ✷ ek 2 ~ p(x), f(x), g(x) ∈ K[X], p(x) UB*&￾r p(x)|f(x)g(x), EC p(x)|f(x) C p(x)|g(x). j_ { p(x) ∤ f(x), :)P 1, (p(x), f(x)) = 1. = p(x)|f(x)g(x), :A*& !)PK p(x)|g(x). ✷ 1