注设degp(x)>0,则性质的逆命题也成立 性质1的逆命题degp(x)>0,如果对于任意的∫(x)∈K[Ⅺ],或p(x)川J∫(x)或 (p(x),f(x)=1.则p(x)为不可约多项式 证明反证法.假设p(x)=h(x)l(x),degh(x),degl(x)<degp(x),则对f(x)= h(x),p(x)f(x)且(p(x),f(x)=f(x)≠1.矛盾.口 性质2的逆命题degp(x)>0,如果对于任意的f(x),9(x)∈k[],由p(x)Jf(x)9(x), 则或p(x)f(x)或p(x)g(x).那么p(x)为不可约多项式 证明反证法.假设p(x)=h(x)l(x),degh(x),deg(x)<degp(x),则令f(x) h(x),g(x)=l(x),p(x)f(x)g(x),但p(x)十∫(x)且p(x)g(x).矛盾.口 因式分解基本定理 定理设∫(x)∈K[r],degf(x)≥1,则 (1)f(x)=p1(x)p2(x)…p(x),其中p(x),1≤i≤s为K上不可约多项式; (2)若f(x)=p1(x)p2(x)…ps(x)=q1(x)2(x)…q(x),其中p(x),q(x),1≤ i≤s,1≤j≤t,为K上不可约多项式,则s=t,且经过适当调换因式的顺序之后 有p1(x)~q(x), 证明(1)对degf(x)作数学归纳法.当degf(x)=1时,结论显然成立.设次 数小于n的多项式,命题成立.现证degf(x)=n的情形.若∫(x)不可约,结论 显然成立.若∫(x)可约,则 f(x)=f1(x)f2(x) degf(x)<n,1≤i≤2.由归纳假设f1(x),f2(x)都可表示为不可约因式的乘积, 它们之积就是f(x) (2)对s作归纳.若s=1,则f(x)=p1(x),即f(x)不可约.所以t=1,q1(x) P1(x).假设对不可约多项式个数小于s的多项式结论成立.则有 P(x)g(x)g(x)…q(x), 则必存在某个j,1≤j≤t,不妨设为j=1,使得p1(x)(x).因为p1(x),q(x)均为 不可约,故p1(x)~q1(x),即 P1(x)=c1(x)l ~ degp(x) > 0, E)P!ni0Z
ek 1 Zb`d degp(x) > 0, z=(>x6! f(x) ∈ K[X], C p(x)|f(x) C (p(x), f(x)) = 1. E p(x)  UB*&
j_ .J-
H~ p(x) = h(x)l(x), degh(x), degl(x) < degp(x), E( f(x) = h(x), p(x) ∤ f(x) r (p(x), f(x)) = f(x) 6= 1. a)
✷ ek 2 Zb`d degp(x) > 0, z=(>x6! f(x), g(x) ∈ K[x], : p(x)|f(x)g(x), EC p(x)|f(x) C p(x)|g(x). kb p(x)  UB*&
j_ .J-
H~ p(x) = h(x)l(x), degh(x), degl(x) < degp(x), E_ f(x) = h(x), g(x) = l(x), p(x)|f(x)g(x),  p(x) ∤ f(x) r p(x) ∤ g(x). a)
✷ ,
72ND&W [℄ ~ f(x) ∈ K[x], degf(x) ≥ 1, E (1) f(x) = p1(x)p2(x)· · · ps(x), qQ pi(x), 1 ≤ i ≤ s  K } UB*& (2) { f(x) = p1(x)p2(x)· · · ps(x) = q1(x)q2(x)· · · qt(x), qQ pi(x), qj (x), 1 ≤ i ≤ s, 1 ≤ j ≤ t,  K } UB*&￾E s = t, rO>%B7!*L ; pi(x) ∼ qi(x), 1 ≤ i ≤ s. j_ (1) ( degf(x) Y ,<l-
 degf(x) = 1 ￾M`#wZ
~ '> n !*&￾iZ
$J degf(x) = n !s(
{ f(x) UB￾M` #wZ
{ f(x) UB￾E f(x) = f1(x)f2(x). degfi(x) < n, 1 ≤ i ≤ 2. :<lH~ f1(x), f2(x) 'U UB7!E￾ eLEP f(x). (2) ( s Y<l
{ s = 1, E f(x) = p1(x), F f(x) UB
4 t = 1, q1(x) = p1(x). H~( UB*&6 '> s !*&M`Z
E; p1(x)|q1(x)q2(x)· · · qt(x), E Dj6 j, 1 ≤ j ≤ t, 0~ j = 1, p1(x)|q1(x). 7 p1(x), q1(x) S UB￾: p1(x) ∼ q1(x), F p1(x) = cq1(x). 2