组有几个解那么这些解的所右可能的线性组合就给出了很多的解基于这个事实我们要问齐次线性 方程组的全部解是否能够通过它的有限的几个解的线性组合给出来？回答是肯定的为此，我们引入下 面的定义 定义17齐次线性方程组(1)的一组解，2，.，称为1)的一个基础解系如果 )()的任一个解都能表成，n,的线性组合 2)7,2,.,n,线性无关 应该注意，定义中的条件2)是为了保证基础解系中没有多余的解事实上，如果几，乃2，·，线性相 关，也就是其中有一个可以表成其他的解的线性组合，譬如说，可以表成，乃，的线性组合 那么7,2，n显然也具有性质1)。 现在就来证明，齐次线性方程组的确有基础解系 定理7在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于 n-r,这里r表示系数矩 的秩 以下将看到， 也就是自由未知量的个数 定理的证明事实上就 具体找基础解系的方法 证明设方程组(1)的系数矩阵的秩为r,无妨设左上角的r级子式不等于零，于是按上一节最后的 分析，方程组()可以改写成 a+.+4x,=-aX4-aXm, at.+ax,=-a4x4-ann (3) a++a=a-a 如果”=n,那么方程组没有自由未知量，方程组(3)的右端全为零这时方程组只有零解，当然也就 不存在基础解系以下设r<n 我们知道，把自由未知量的任意一组(C,·,C,)代入(3)，就唯一地决定了方程组(3)一也就是方程 组(1)的一个解.换句话说方程组(1)的任意两个解，只要自由未知量的值一样，这两个解就完全一样特别 地，如果在一个解中，自由未知量的值全为零，那么这个解一定就是零解 在(3)中我们分别用n-r组数 1,0,.,0),(0,1,.,0).(0,0,.,1) (4) 米代自由未知量(x,x2.,x),就得出方程组(3)-也就是方程组(1)的n一r个解 7=(G.,Gl,0,.,0), h2=(c2.,C0,1.,0) h=(c.,Ca-w,0,0,.,10 组有几个解,那么这些解的所有可能的线性组合就给出了很多的解.基于这个事实,我们要问:齐次线性 方程组的全部解是否能够通过它的有限的几个解的线性组合给出来?回答是肯定的.为此,我们引入下 面的定义. 定义 17 齐次线性方程组(1)的一组解 1 2 , , ,   t 称为(1)的一个基础解系,如果 1) (1)的任一个解都能表成 1 2 , , ,   t 的线性组合; 2) 1 2 , , ,   t 线性无关. 应该注意,定义中的条件 2)是为了保证基础解系中没有多余的解.事实上,如果 1 2 , , ,   t 线性相 关,也就是其中有一个可以表成其他的解的线性组合,譬如说, t 可以表成 1 2 1 , , ,   t− 的线性组合, 那么 1 2 1 , , ,   t− 显然也具有性质 1). 现在就来证明,齐次线性方程组的确有基础解系. 定理 7 在齐次线性方程组有非零解的情况下,它有基础解系,并且基础解系所含解的个数等于 n r − ,这里 r 表示系数矩阵的秩(以下将看到, n r − 也就是自由未知量的个数). 定理的证明事实上就是一个具体找基础解系的方法. 证明 设方程组(1)的系数矩阵的秩为 r ,无妨设左上角的 r 级子式不等于零.于是按上一节最后的 分析,方程组(1)可以改写成 11 1 1 1, 1 1 1 21 1 2 2, 1 1 2 1 1 , 1 1 , , . r r r r n n r r r r n n r rr r r r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + + + +  + + = − − −   + + = − − −    + + = − − −  (3) 如果 r n = ,那么方程组没有自由未知量,方程组(3)的右端全为零.这时方程组只有零解,当然也就 不存在基础解系.以下设 r n  . 我们知道,把自由未知量的任意一组 1 ( , , ) r n c c + 代入(3),就唯一地决定了方程组(3) − 也就是方程 组(1)的一个解.换句话说,方程组(1)的任意两个解,只要自由未知量的值一样,这两个解就完全一样.特别 地,如果在一个解中,自由未知量的值全为零,那么这个解一定就是零解. 在(3)中我们分别用 n r − 组数 (1,0, ,0),(0,1, ,0), (0,0, ,1), (4) 来代自由未知量 1 2 ( , , ) r r n x x x + + ,就得出方程组(3) − 也就是方程组(1)的 n r − 个解: 1 11 1 2 21 2 1 ,1 , ( , , ,1,0, ,0), ( , , ,0,1, ,0), ( , , ,0,0, ,1), r r n r n r r c c c c c c    − −  =   =    =  (5)