我们现在来证明，（⑤）就是一个基础解系首先证明，.，线性无关事实上，如果 k7+k乃2+.+km-,刀mr=0 多 k+k++k-r=(传*k,k2,.,kn-)=(0,.,0,0,0,.,0) 比较最后n-r个分量，得k=k2==k=0.因此，乃2，.，n线性无关 再证明方程组(1)的任一个解都可以由n,2,.,刀线性表出.设 =(G,.,C,Cp4,C42,Cn） (6) 是(1)的一个解.由于，2，.，是(1)的解，所以线性组合 +cr++cno-r (7) 也是(1)的一个解比较(7)和(6)的最后一r个分量得知，自由未知量有相同的值，从而这两个解完全一样， 即刀=C+c4+.+C,刀，这就是说任意一个解n都能表成，乃，.，几，的线性组合综合以 上两点，我们就证明了几，2，.，确为方程组(2)的一个基础解系，因而齐次线性方程组的确有基础 解系证明中具体给出的这个基础解系是由-r个解组成至于其他的基础解系，由定义，一定与这个基 础解系等价，同时它们又都是线性无关的，因而有相同个数的向量这就是定理的第二部分 由定义容易看出，任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系， 下面来看一般线性方程组的解的结构.如果把一般线性方程组 a+a2x3+.+anxn=b, +az+.+axn=b2 (9 a1+a+.+amxn=b 的常数项换成0，就得到齐次方程组(1).方程组(1)称为方程组(9)的导出组.方程组(9)的解与它的导出组 (1)的解之间有密切的 1.线性方程组(9)的两个解的差是它的导出组(1)的解 设（化，k2,.,k),(,.,)是方程组(9）的两个解，即 2a,k=42,=46=l2. 它们的差是（化-1，k-12,.k。-1),显然有 a6,-月-2k-24=6-6=0=12,我们现在来证明,(5)就是一个基础解系.首先证明 1 2 , , ,   n r − 线性无关.事实上,如果 1 1 2 2 0 n r n r k k k    + + + = − − 即 1 1 2 2 1 2 ( , , , , , ) n r n r n r k k k k k k    + + + =   − − − = (0, ,0,0,0, ,0) 比较最后 n r − 个分量,得 1 2 0 n r k k k = = = = − .因此 1 2 , , ,   n r − 线性无关. 再证明方程组(1)的任一个解都可以由 1 2 , , ,   n r − 线性表出.设 1 1 2 ( , , , , , , ) r r r n  c c c c c = + + (6) 是(1)的一个解.由于 1 2 , , ,   n r − 是(1)的解,所以线性组合 r r n n r 1 1 2 2 c c c + + −    + + + (7) 也是(1)的一个解.比较(7)和(6)的最后 n r − 个分量得知,自由未知量有相同的值,从而这两个解完全一样, 即 r r n n r 1 1 2 2     c c c = + + + + + − .这就是说,任意一个解  都能表成 1 2 , , ,   n r − 的线性组合.综合以 上两点,我们就证明了 1 2 , , ,   n r − 确为方程组(2)的一个基础解系,因而齐次线性方程组的确有基础 解系.证明中具体给出的这个基础解系是由 n r − 个解组成.至于其他的基础解系,由定义,一定与这个基 础解系等价,同时它们又都是线性无关的,因而有相同个数的向量.这就是定理的第二部分. 由定义容易看出,任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系. 下面来看一般线性方程组的解的结构.如果把一般线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 , , . n n n n s s sn n s a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =     + + + = (9) 的常数项换成 0 ,就得到齐次方程组(1).方程组(1)称为方程组(9)的导出组.方程组(9)的解与它的导出组 (1)的解之间有密切的关系: 1. 线性方程组(9)的两个解的差是它的导出组(1)的解. 设 1 2 ( , , , ) n k k k , 1 2 ( , , , ) n l l l 是方程组(9)的两个解,即 1 1 , ( 1,2, ), n n ij j i ij j i j j a k b a l b i s = =   = = = 它们的差是 1 1 2 2 ( , , ) n n k l k l k l − − − ,显然有 1 ( ) n ij j j j a k l =  − 1 n ij j j a k = = −  1 0 n ij j i i j a l b b =  =−= ( 1, 2, ). i s =