习题10-3 1.求下列幂级数的收敛域： (D m (2) (3) 52” (2n-1)1 n2+1 42 (5) 2n-lx22 (6) (x-5)" an-3: 名2 名√n 解：(1)收敛半径R=lim a=lim n =lim-1 =1 nn+1 1 1+ n x=-1时，级数为-1+2-3+…+(-)"-n+…,它是发散的： x=1时，级数为1+2+3+…+n+…,它也是发散的， 因此，幂级数∑x收敛域是(-1,1). n=1 (2)收敛半径1=lim an lim /(2n+1)1 1 =lim- 一=0， an厂/2n-1月a2n(2n+1) 所以收敛半径R=+o,从而收敛域是(-o,+o). (3)收敛半径R=lim an 2”(n+1)2+11 lim m→n2+12*1厂2 x=)时，级数成为1 1 它是收敛的： mn2+1 x=-)时，原级数成为仁 它也是发散的， 2 an2+1 因此，幂级数 x" 台(2n-1) 的收敛域为分 (4)x 之n3:收敛半径R=linm =lim 1/n-3 a-a+河+}3. x=-3时，级数为收敛的交错级数-1少： n=l n x=3时，级数为调和级数1，它也是发散的，1 习题 10  3 1.求下列幂级数的收敛域： （1） 1   n n nx ； （2） 1 (2 1)!     n n x n ； （3） 2 1 2 1     n n n x n ； （4） 1 3 n n n x n     ； （5） 2 2 1 2 1 2 n n n n x      ； （6） 1 ( 5) n n x n     ． 解：（1）收敛半径 1 1 lim lim lim 1 1 1 1 n n n n na n R a n n           , x  1时，级数为 1 1 2 3 ( ) n n       , 它是发散的； x 1时，级数为1 2  3 n ，它也是发散的， 因此，幂级数 1   n n nx 收敛域是(1,1) ． （2）收敛半径     1 1 2 1 ! 1 lim lim lim 0 1 2 1 ! 2 (2 1) n n n n n a n l a n n n            ， 所以收敛半径 R   ，从而收敛域是(,) ． （3）收敛半径 2 1 2 ( 1) 1 1 2 lim lim 1 2 2 1            n n n n n n n a n a R . 2 1 x  时，级数成为  1  2 1 1 n n ，它是收敛的； 2 1 x   时，原级数成为     1 2 1 ( 1) n n n ，它也是发散的， 因此，幂级数 1 (2 1)!     n n x n 的收敛域为 ] 2 1 , 2 1 [ . （4） 1 3 n n n x n     ；收敛半径   1 1 1 3 1 lim lim 3lim 1 3 1 1 3 n n n n n n na n R a n n                    , x  3时，级数为收敛的交错级数 1 ( 1) n n n     ； x  3时，级数为调和级数 1 1 n n   ，它也是发散的