=]e cos xdr=e cos x+ ]e sin xdx e cosx+e sin x-e cos xdx=e (sin x+cos x)-I I==e(sin x+cos x)+C (3)建立递推公式,例如,求1=∫ tan"xdx(m≥2) :In=tan" tan xdx= tan"-x(sec'x-1)dx j tan"xsec xdr- tan"xdx=tan"xd tan x- tan"xdr tan"x-」tan"2xdr,即Jn tan"x-I 问题5:已知f(x)的导数为sin2x,则sin2x的原函数为 f(x)=sin 2xdx=sinx+C 对吗?又问g(x)=-cos2x+C和h(x)=-cos2x+C(C为任意常数)也是sin2x的原 函数吗? 分析]这是一个函数的原函数有多少个的问题 由原函数的定义知,应该有无穷多个,且它们之间至多相差一个常数 (sin x+C)=sin 2x, (coS x+C)=sin 2x,(--cos 2x+C)=sin 2x f(x),g(x)和h(x)均为sn2x的原函数 事实上,-cosx=sinx-1,1 cOS 2x=sinx 因此,g(x),h(x)与∫(x)仅相差常数53 cos x I e xdx =  cos sin x x = + e x e xdx  cos sin cos (sin cos ) x x x x = + − = + − e x e x e xdx e x x I   1 (sin cos ) 2 x I e x x C = + + . （3） 建立递推公式，例如，求 tann n I xdx =  ( 2) n  解： 2 2 2 2 tan tan tan (sec 1) n n n I x xdx x x dx − − = = −   2 2 2 tan sec tan n n x xdx xdx − − = −   2 2 tan tan tan n n xd x xdx − − = −   1 1 2 tan tan 1 n n x xdx n − − = − −  ,即 1 2 1 tan 1 n n n I x I n − = − − − . 问题 5：已知 f x( ) 的导数为 sin 2x ，则 sin 2x 的原函数为 2 f x xdx x C ( ) sin 2 sin = = +  对吗？又问 2 g x x C ( ) cos = − + 和 1 ( ) cos 2 2 h x x C = − + （ C 为任意常数）也是 sin 2x 的原 函数吗？ [分析] 这是一个函数的原函数有多少个的问题. 由原函数的定义知，应该有无穷多个，且它们之间至多相差一个常数， 2 (sin ) sin 2 x C x + = , 2 ( cos ) sin 2 − + = x C x  ， 1 ( cos 2 ) sin 2 2 − + = x C x  .  f x g x ( ), ( ) 和 h x( ) 均为 sin 2x 的原函数. 事实上， 2 2 − = − cos sin 1 x x ， 1 1 2 cos 2 sin 2 2 − = − x x ， 因此， g x h x ( ), ( ) 与 f x( ) 仅相差常数