问题1:等式(f(x) f(x)dhx正确吗? 答:不正确,由不定积分的定义,∫f(x)x=f(x)+C,而由不定积分的性质 f(x)dx)=f(x) 问题2:下列运算正确吗? 「=/Jca=cc x≥0 e- dx=-e+C,, x<0 分析]这是求分段函数的原函数的问题上面的做法不正确,由于原函数可导必是连 续的,所以原函数在分段点x=0处连续,但C1和C2的任意性不能保证原函数连续 设原函数为F(x),则由lmF(x)=limF(x)=F(0),有1+C1=-1+C 即C2=C1+2.故只有在C2=C1+2时,上述运算才正确,即 ≥0 -e+C1+2x<0 问题3:怎样理解微分学中,导数公式(nx)=-,积分学中不定积分公式 -dx= Inx+C 分析]在微分中,是求已知函数mx的导数,这个函数的定义域是x>0,所以公式 (lnx)=-自然只在区间(O,∞)内成立,而不定积分则是求已知函数一的原函数,这个函数 的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),因此,一般应理解为在上述两个区间分别求其函数: d x >0 In(-x)+C2,x<0 C1和C2是两个彼此独立的常数,为方便起见,写为 Inx+C 因的定义域是两个区间,在每个区间内用各自的原函数来理解上述公式 问题4:分部积分法的主要作用是什么? 答:主要作用有三种 (1)化简积分式,通过公式ah=y-jwh,将不定积分jdh化为jwh 当「vdh较[dh容易计算时,公式起到了简化作用 (2)产生循环现象,从而求出积分,例如I=e' cos xdx52 问题 1：等式 ( f x dx f x dx ( ) ( ) )  =    正确吗？ 答：不正确，由不定积分的定义， f x dx f x C ( ) ( ) = +  ，而由不定积分的性质 ( f x dx f x ( ) ( ) )  =  . 问题 2：下列运算正确吗？ 1 2 , 0 , 0 x x x x x e dx e C x e dx e dx e C x − −  = +   =   = − +      [分析] 这是求分段函数的原函数的问题.上面的做法不正确，由于原函数可导必是连 续的，所以原函数在分段点 x = 0 处连续，但 C1 和 C2 的任意性不能保证原函数连续. 设原函数为 F x( ) ，则由 0 0 lim ( ) lim ( ) (0) x x F x F x F → + → − = = ，有 1 2 1 1 + = − + C C ， 即 2 1 C C= + 2.故只有在 2 1 C C= + 2 时，上述运算才正确，即 1 1 0 2 0 x x x e C x e dx e C x −  +  =  − + +   问题 3： 怎样理 解微 分学中 ，导数 公式 1 ( ) Inx x  = ，积分学 中不 定积分 公式 1 dx In x C x = +  . [分析] 在微分中，是求已知函数 Inx 的导数，这个函数的定义域是 x  0 ，所以公式 1 ( ) Inx x  = 自然只在区间 (0, )  内成立，而不定积分则是求已知函数 1 x 的原函数，这个函数 的定义域是 ( ,0) (0, ) −  + ，因此，一般应理解为在上述两个区间分别求其函数： 1 2 , 0 ( ) , 0 dx Inx C x x In x C x  +  =   − +   C1 和 C2 是两个彼此独立的常数，为方便起见，写为 dx In x C x = +  . 因 1 x 的定义域是两个区间，在每个区间内用各自的原函数来理解上述公式. 问题 4：分部积分法的主要作用是什么？ 答：主要作用有三种： （1） 化简积分式，通过公式 udv uv vdu = −   ，将不定积分 udv  化为 vdu  ， 当 vdu  较 udv  容易计算时，公式起到了简化作用. （2） 产生循环现象，从而求出积分，例如 cos x I e xdx = 