定理3若f(x)能展成x的幂级数，则这种展开式是 唯一的，且与它的麦克劳林级数相同. 证：设f(x)所展成的幂级数为 f(x)=a0+ax+a2,x2+.+anx”+.,x∈(-R,R) 则 ao f(0) f'(x)=a1+2a2x+.+nanx-1+.; a1=f'(0) f"()=2a2+.+nn-1)anx-2+;a2=f"(0) fm)(x)=nlan+. an =mf((0) 显然结论成立定理3 若 f (x) 能展成x的幂级数, 则这种展开式是 唯一的,且与它的麦克劳林级数相同. 证: 设 f (x) 所展成的幂级数为 则 ( ) 2 ; 1 f  x = a1 + a2 x ++ nan x n− + (0) 1 a = f  ( ) 2! ( 1) ; 2 f  x = a2 ++ n n − an x n− + (0) 2! 1 2 a = f  ( ) ! ; f (n) x = n an + (0) ( ) ! 1 n n n a = f 显然结论成立 . (0) 0 a = f