例10.2.3函数项级数∑xe(0<as1在[0+∞)上非一致收敛 证记 u x=x e 我们证明∑n1(x)在[0+∞)上不满足定理10.2.1(函数项级数一致收敛 的 Cauchy收敛原理)的条件。注意到有不等式 l4(x) (n+l)x+xe (n+2)x nxe-2nx k=n+1 取s0=e-2>0,对于任意的自然数N,可取m=2n(n>N)与 xn=∈D+∞),由于a≤1,于是成立 ∑v1(xn)≥nxne 由定理10.2.1,函数项级数∑n(x)在[0+∞)上非一致收敛例 10.2.3 函数项级数 1 e nx n x   − =  (0 1)    在[0,+)上非一致收敛。 证 记 ( ) e nx n u x x  − = ， 我们证明  =1 ( ) n n u x 在[0,+)上不满足定理 10.2.1（函数项级数一致收敛 的 Cauchy 收敛原理）的条件。注意到有不等式  = = + n k n k u x 2 1 ( ) ( 1) e n x x  − + + ( 2) e n x x  − + + + 2 e nx x  −  2 e nx nx  − ， 取 2 0  e 0 − =  ， 对 于 任 意 的 自 然 数 N ， 可 取 m = 2n (n  N) 与 = 0,+) 1 n xn ，由于 1，于是成立   = + n k n k n u x 2 1 ( ) 2 e n nx n nx  − 2 0 e  −  = 。 由定理 10.2.1，函数项级数  =1 ( ) n n u x 在[0,+)上非一致收敛