件(3).可是集合中只有1有逆元素(1的逆元素还是1)，所以不满足条件(4)，不能够构成一个群。 下面考虑零以外的全部实数集合，结合规则是普通乘法，两个非零实数的乘积仍是一个实数，因此满 足封闭性.满足结合性.恒等元是1，最后，每个元素都有一个逆元，即该数的倒数，所以全部非零实数的 集合在一般乘法的结合规则下形成一个群，该群的阶是无穷大.（如果零包括在集合中，就不能够成一个群， 因为零没有逆元.) 全部正、负整数及零的集合是一个群.在这里结合规则不是算术乘法，而是一般加法.封闭性是满足 的，加法是可以结合的，恒等元是零：A+0=A=0+A.每个元素的逆元是它的负数：A+(-A)=A+(-A)=0 从上节的讨论可知，分子的全部对称操作的集合，满足群定义的四个条件，构成一个群. 4.3.3子群，类和群的同构 群论的威力来自它的抽象性，无须对群元素的性质或结合规则作具体规定，只需群定义的四个条件， 群的数学定理都可以证明.群的本质不在于构成群的元素是什么，而在于它们必须服从上述的四项运算规 则.这些运算规则反映了群中各元素之间的内在联系 若一个群的子集合按照与原来群相同的结合规则（乘法）构成一个群，则称元素的子集合形成原来群 的子群，例如，NH3分子全部对称操作构成的对称群是一个6阶群，它的乘法表由表4-1给出，在这个6阶 群中，可以验证，(E,C3,C)三个对称操作所构成的集合，也是一个群，这个群的阶数是3，因此，它是 上述6阶群的一个子群.除此之外，在这个6阶群中，还包含有三个二阶子群，它们分别由二个对称操作(E, a),(E,b),(E,c)所构成. 如果同一个群中的元素P和Q满足关系P=XQX,其中X也是此群的元素(X不必与P或Q不同)，则 我们称P和Q共轭.注意若P=XQX,则左乘以X接着右乘以X,就得到：Q=XPX:X也是该群的某个元 素，把它叫做Y,即Q=YPY.因此，若P与Q共轭，则Q亦跟P共轭，而且，容易证明：若P跟Q共轭， R也跟Q共轭，则P和R互为共轭。从而我们可以把一个群的元素分为若干个由彼此共轭的元素组成的子 集合，称每一个这样的子集合为类。 作为一个例子，我们寻找C群NH,分子全部对称操作的集合)的类.为了找出与E属于同一类的元素， 我们要写出所有可能的形如XEX的乘积，因为XEX=EXX=E,所以元素E自成一类，再看a,利用群的 乘法表4-1，可以求出 E-10aE=0a:C310aC3=Gc:(C3)GaC3=0p:GaGaGa-6a:0b0aOp-0c:6c0a0c=6b 因此a,和形成C3r群的一个类.（为了进行检验，我们可以写出如8-18，或8-1的所有乘积.） 最后， E-1C3E=C3:C31C3C3=C3:(C好)C3C好=C3:6a1C3aa=C好；661C3=C3;6e1C36e=C3 所以，C3和C好形成一类.C3m有三个类.①E:②6a,b,6c:③C3,C好 注意，每一类的成员是密切相关的对称操作. 如果所有的群元素全都对易（即AB=BA),这样的群叫做阿贝尔群(Abelian)或交换群.交换群的一个特 例是循环群.例如C3群(E=C3,C3,C好=C经)就是一个循环群，对于阿贝尔群，每个元素都自成一类，因为 Y'AY=AYY=A. 因为反演与任何别的对称操作对易，故具有对称中心的分子点群其自成一类， 最后来介绍群的同构概念.两个同阶的群A(a,',a”,…)和B(b,b',b”,…),如果在双方的元素间可以建立 起某种一一对应关系，使得元素a对应于元素b以及元素a对应于元素b时，就有元素a=aa对应于元素 b”=bb',则这两个群就称为同构的.这样的两个群从抽象观点看来显然具有相同的性质，尽管它们的元素具 有不同的实际含义， 9696 件(3)．可是集合中只有 1 有逆元素（1 的逆元素还是 1），所以不满足条件(4)，不能够构成一个群． 下面考虑零以外的全部实数集合，结合规则是普通乘法，两个非零实数的乘积仍是一个实数，因此满 足封闭性．满足结合性．恒等元是 1．最后，每个元素都有一个逆元，即该数的倒数，所以全部非零实数的 集合在一般乘法的结合规则下形成一个群，该群的阶是无穷大．（如果零包括在集合中，就不能够成一个群， 因为零没有逆元．） 全部正、负整数及零的集合是一个群．在这里结合规则不是算术乘法，而是一般加法．封闭性是满足 的，加法是可以结合的，恒等元是零：A+0=A=0+A．每个元素的逆元是它的负数：A+(െA)=A+(െA)=0 从上节的讨论可知，分子的全部对称操作的集合，满足群定义的四个条件，构成一个群． 4.3.3 子群，类和群的同构 群论的威力来自它的抽象性，无须对群元素的性质或结合规则作具体规定，只需群定义的四个条件， 群的数学定理都可以证明．群的本质不在于构成群的元素是什么，而在于它们必须服从上述的四项运算规 则．这些运算规则反映了群中各元素之间的内在联系． 若一个群的子集合按照与原来群相同的结合规则（乘法）构成一个群，则称元素的子集合形成原来群 的子群，例如，NH3 分子全部对称操作构成的对称群是一个 6 阶群，它的乘法表由表 4-1 给出，在这个 6 阶 群中，可以验证，由(ܧ ,෠ܥመ ଷ, ܥመ ଷ ଶ)三个对称操作所构成的集合，也是一个群，这个群的阶数是 3,因此，它是 上述 6 阶群的一个子群．除此之外，在这个 6 阶群中，还包含有三个二阶子群，它们分别由二个对称操作(ܧ ,෠ .所构成௖)ොߪ ,෠ܧ),(௕ොߪ ,෠ܧ),(௔ොߪ 如果同一个群中的元素 P 和 Q 满足关系 P=X-1QX，其中 X 也是此群的元素（X 不必与 P 或 Q 不同），则 我们称 P 和 Q 共轭．注意若 P=X-1QX,则左乘以 X,接着右乘以 X-1，就得到；Q=XPX-1 ；X-1 也是该群的某个元 素，把它叫做 Y，即 Q=Y-1PY．因此，若 P 与 Q 共轭，则 Q 亦跟 P 共轭，而且，容易证明：若 P 跟 Q 共轭， R 也跟 Q 共轭，则 P 和 R 互为共轭。从而我们可以把一个群的元素分为若干个由彼此共轭的元素组成的子 集合，称每一个这样的子集合为类。 作为一个例子，我们寻找 C3v群(NH3 分子全部对称操作的集合)的类．为了找出与ܧ෠属于同一类的元素， 我们要写出所有可能的形如 X-1ܧ෠X 的乘积，因为 X-1ܧ෠X=ܧ෠X-1X=ܧ,෠所以元素ܧ෠自成一类，再看ߪො௔，利用群的 乘法表 4-1，可以求出 መܥ;௔ොߪ=෠ܧ௔ොߪଵ෠ିܧ ଷ ିଵߪො௔ܥመ ଷ=ߪො௖；(ܥመ ଷ ଶ) -1 መܥ௔ොߪ ଷ ଶ=ߪො௕；ߪො௔ ିଵߪො௔ߪො௔=ߪො௔；ߪො௕ ିଵߪො௔ߪො௕=ߪො௖；ߪො௖ ିଵߪො௔ߪො௖=ߪො௕ 因此ߪො௔，ߪො௕和ߪො௖形成 C3v 群的一个类．（为了进行检验，我们可以写出如ܺ෠ିଵߪො௕ܺ෠，或ܺ෠ିଵߪො௖ܺ෠的所有乘积．） 最后， መܥଵ෠ିܧ መܥ=෠ܧଷ ଷ；ܥመ ଷ ିଵܥመ ଷܥመ ଷ=ܥመ ଷ；(ܥመ ଷ ଶ) -1ܥመ ଷܥመ ଷ ଶ=ܥመ ଷ；ߪො௔ ିଵܥመ ଷߪො௔=ܥመ ଷ ଶ ௕ොߪ; ିଵܥመ ଷߪො௕=ܥመ ଷ ଶ ௖ොߪ; ିଵܥመ ଷߪො௖=ܥመ ଷ ଶ 所以, ܥመ ଷ和ܥመ ଷ ଶ形成一类．C3v有三个类．①ܧ2;෠ߪො௔，ߪො௕，ߪො௖；③ܥመ ଷ，ܥመ ଷ ଶ 注意，每一类的成员是密切相关的对称操作． 如果所有的群元素全都对易（即 AB= BA），这样的群叫做阿贝尔群(Abelian)或交换群．交换群的一个特 例是循环群．例如 C3 群(ܧ=෠ܥመ ଷ ଷ，ܥመ ଷ，ܥመ ଷ ଶ=ܥመ ଷ ଶ)就是一个循环群，对于阿贝尔群，每个元素都自成一类，因为 X-1AX =AX-1X =A． 因为反演与任何别的对称操作对易，故具有对称中心的分子点群其ଓ自成一类． ̂ 最后来介绍群的同构概念．两个同阶的群 A(a, a', a'',…)和 B(b, b', b'',…)，如果在双方的元素间可以建立 起某种一一对应关系，使得元素 a 对应于元素 b 以及元素 a'对应于元素 b'时，就有元素 a''=aa'对应于元素 b''=bb'，则这两个群就称为同构的．这样的两个群从抽象观点看来显然具有相同的性质，尽管它们的元素具 有不同的实际含义．