4.4对称点群 一个分子的全部对称操作的集合形成一个数学群.对于分子的任一个对称操作，质量中心是保持固定 的，于是一个孤立分子的对称群叫做点群.对于无限伸展的晶体，可以有对称操作（例如，平移）使得没 有一个点是固定不动的，这给出空间群.我们略去空间群的讨论。 4.4.1对称点群 任一分子可归为我们所列举的对称点群之一，为方便计，我们将点群分为四部分， 1)无Cn轴的群：C1,Ca,C (1)C如果一个分子全无对称元素，它属于此群，仅有 的对称操作是E(是一个C转动).CHFCIBr属于点群C. (2)C。一个分子其仅有的对称元素是一个对称面者属 于此群.对称操作是E和6.一个例子是HOC1(图4.11). Co C (3)C:一个分子其仅有的对称元素是对称中心者属于此 图4.11无Cn轴的分子 群.对称操作是E和1.一个例子见图4.11. 2)有一个Cn轴的群：Cn,Ch,Cm,S2 (1)Cm,n=2,3,4…一个分子仅有的对称元素是一个Cn轴者属于此群，对称操作是Cn,C经，…，E, 属于C2分子的例子示于图4.12. (2)CM,=2,3,4,·如果垂直于Cn轴增加一个对称面，则分子属子这种群.因为nCm=Sn,所以 Cn轴也是Sn轴.若n为偶数，Cn轴也是C2轴而有对称操作 GnC2=S2=i 于是对于偶数n,属于Ch的分子有对称中心.(Ch群是前面己讨论过的C1群.)属于C2h和C3群的分子 的例子示于图4.12. (3)Cm,=2,3,4,·属于这种群的分子有一个Cn轴和n个竖直对称面（通过Cn轴）.H0分子有 一个C2轴和二个竖直对称面，属于C2.NH分子属于C3(见图4.12) C2 C H2O2(O-0键垂直于纸面) 图4.12只有一个Cn轴的分子 (4)Sn,n=4,6,8,…Sn是联系着Sn轴的对称操作群，先考虑n为奇数的情 况.我们有Sn=6nCm·操作Cn只影响x和y坐标：而操作G只影响z坐标，于是这 些操作可以对易，而有 Sn=(OnCn)"=OnCnOnCnOnCn-On Cn 现在C=E,且对于奇数n,6=.于是对于奇数n,S?等于6h,而群S.有一水 平对称平面.以及 S+1=SSn=nSn=hnCm=Cn,n为奇数 所以n为奇数时有一Cn轴.我们断定，若n为奇数，Sn群等于Ch群。 现在考虑n为偶数.目为S2=1,群S2等于C,于是只有=4,6,8，…时才得到 图4.13 9797 图 4.13 4.4 对称点群 一个分子的全部对称操作的集合形成一个数学群．对于分子的任一个对称操作，质量中心是保持固定 的，于是一个孤立分子的对称群叫做点群．对于无限伸展的晶体，可以有对称操作（例如，平移）使得没 有一个点是固定不动的，这给出空间群．我们略去空间群的讨论。 4.4.1 对称点群 任一分子可归为我们所列举的对称点群之一．为方便计，我们将点群分为四部分． 1)无 Cn轴的群：C1，Cσ，Ci (1)C1 如果一个分子全无对称元素，它属于此群，仅有 的对称操作是ܧ)෠是一个ܥመ ଵ转动）．CHFClBr 属于点群 C1． (2)Cσ 一个分子其仅有的对称元素是一个对称面者属 于此群．对称操作是ܧ෠和ߪො．一个例子是 HOCl（图 4.11）． (3)Ci 一个分子其仅有的对称元素是对称中心者属于此 群．对称操作是ܧ෠和ଓ．一个例子见图 ̂ 4.11． 2)有一个 Cn轴的群：Cn，Cnh，Cnv，S2n (1)Cn，n=2，3，4… 一个分子仅有的对称元素是一个 Cn 轴者属于此群，对称操作是ܥመ መܥ,௡ ௡ ,෠ܧ,...,ଶ 属于 C2 分子的例子示于图 4.12． (2)Cnh，n=2，3，4，… 如果垂直于 Cn 轴增加一个对称面，则分子属子这种群．因为ߪො௛ܥመ ௡=ܵመ ௡，所以 Cn 轴也是 Sn轴．若 n 为偶数，Cn 轴也是 C2 轴而有对称操作 መܥ௛ොߪ ଶ=ܵመ ଶ=ଓ̂ 于是对于偶数 n，属于 Cnh 的分子有对称中心．（C1h 群是前面已讨论过的 C1 群．）属于 C2h 和 C3h 群的分子 的例子示于图 4.12． (3)Cnv，n=2，3，4，… 属于这种群的分子有一个 Cn 轴和 n 个竖直对称面（通过 Cn轴）．H2O 分子有 一个 C2 轴和二个竖直对称面，属于 C2v．NH3 分子属于 C3v(见图 4.12)． H H C2 C2 H H H F H F C C F H H F B O O O H H H N H H H C3 C2 C2 C2h C3h C3v H2O2(O-O 键垂直于纸面) 图 4.12 只有一个 Cn轴的分子 (4)Sn，n=4，6，8，… Sn是联系着 Sn轴的对称操作群，先考虑 n 为奇数的情 况．我们有ܵመ መܥ௛ොߪ=௡ ௡．操作ܥመ ௡只影响 x 和 y 坐标；而操作ߪො௛只影响 z 坐标，于是这 些操作可以对易，而有 ܵመ ௡ መܥ௛ොߪ)=௡ ௡) n መܥ௛ොߪ= መܥ௛ොߪ௡ መܥ௛ොߪ...௡ ௛ොߪ=௡ መܥ௡ ௡ ௡ 现在ܥመ ௡ ௡=ܧ,෠且对于奇数 n，ߪො௛ ௡=ߪො௛．于是对于奇数 n，ܵመ ௡ ௡等于ߪො௛，而群 Sn 有一水 平对称平面．以及 ܵመ ௡ ௡ାଵ=ܵመ ௡ ௡ܵመ ௡=ߪො௛ܵመ መܥ௛ොߪ௛ොߪ=௡ መܥ=௡ ௡，n 为奇数 所以 n 为奇数时有一 Cn轴．我们断定，若 n 为奇数，Sn 群等于 Cnh 群． 现在考虑 n 为偶数．目为ܵመ ଶ=ଓ，群̂ S2 等于 Ci，于是只有 n=4, 6, 8, …时才得到 C1 Cσ Ci 图 4.11 无 Cn 轴的分子 C Cl F Br H O H Cl Cl F H Cl H H H F H F H F H F S4