新的群.S2m轴也是一个Cn轴： S经n=好C径n=ECn=Cn 图4.13中螺旋体属于S4群. 3)有一个Cn轴和n个C2轴的群：Dnm,Dh,Dnd (1)Dn,=2,3,4,…一个分子有一个Cn轴和n个垂直于Cn轴的 C2轴（而无对称面）者属于Dn群，相邻的C,轴的夹角是严弧度，对 n 于D2群，有三个互相垂直的C2轴，对称操作是E,C2(x,C20y),C2(e), (2)Dh,=2,3,4,…属于这种群的分子有一Cn轴，n个C2轴，以及 一个垂直于Cn轴的o%对称面，如同C中那样，Cn轴也是Sn轴.若n 为偶数，Cn轴是一个C2轴也是一个S2轴，所以有一个对称中心.D 分子中还有n个竖直的对称面，每个这样的面通过Cn轴和一个C2轴， 我们现在证明这个论断.建立一个坐标系使Cn轴为：轴，令C2轴之 C2 x 一为x轴（图4.14）.这使得y平面是0.对称面.观察乘积(y)C2(x) 图4.14在D.分子中的二个对称轴 对于一个原来在(x,y,)的点的效果.有因为(y)C2(x)与(xa)两者均 将原来在(x,y,)的点移到最后的位置(x,一y,),它们是相等的： (xy)C2(x)=6(x=) C2(x)和(y)是对称操作，它们的乘积必定是对称操作：所以，：平面是一个对称面.同样的论证适于任意 C2轴，所以有们个o面.BF3属于D3h:PtC142属于D4h,苯属于D6a(图4.15) K,y)C化-y-)yk,-y也有化，))x-y) C B Dah D6h Did 图4.15有一个Cn轴和n个C2轴的分子 因为(y)C2(x)与(x)两者均将原来在(x,y,)的点移到最后的位置(x,-y,),它们是相等的： 6(xy)C2(x)=6(x=) C2(x)和()是对称操作，它们的乘积必定是对称操作：所以，：平面是一个对称面.同样的论证适于任意 C2轴，所以有们个o面.BF3属于D3h:PtCI属于D4h,苯属于D6(图4.15). (3)Dd,=2,3,4,…分子有一个Cn轴，n个C2轴和n个竖直的对称面通过Cn轴并平分两相邻的C2 轴的夹角，属于这种群，n个竖直的平面叫做等分面，以符号o表之.可以证明，Cn轴是一个S2n轴.乙烷 的参差式构象是D3群的一例（图4.15）.[有内旋转的分子的对称性（例如，乙烷）实际上需要特别的讨论， 我们略去.] 4)有多于一个Cn轴(n>2)的群：TaT,Th,O,Oh,h,I,Kh 这些群与柏拉图体的对称性有关，柏拉图体被全等的正多边形所包围并有全等多面角.有五种这样的 柏拉图体：有四个三角形的四面体，有六个四方形的立方体，有八个三角形的八面体，有十二个五边形的 五边形十二面体，有二十个三角形的二十面体.（五边形十二面体勿与三角形十二面体相混淆：后者有十二 个三角面但不是一个柏拉图体.) (I)T:一个正四面体的对称操作组成此群.最好的例子是CH4.CH4的对称元素是四个C3轴（每个CH 键)，三个S4轴它们也是C2轴（图4.16），六个对称面，每个这样的面包含两个C-H键.（四件事每次取两 件的组合数为41/2121=6). 9898 新的群．S2n轴也是一个 Cn 轴： ܵመ ଶ௡ ଶ =ߪො௛ ଶܥመ ଶ௡ መܥ෠ܧ= ଶ መܥ=௡ ௡ 图 4.13 中螺旋体属于 S4群． 3)有一个 Cn轴和 n 个 C2轴的群：Dn, Dnh, Dnd (1)Dn，n=2, 3, 4, … 一个分子有一个 Cn 轴和 n 个垂直于 Cn 轴的 C2 轴（而无对称面）者属于 Dn 群，相邻的 C2 轴的夹角是గ ௡ 弧度，对 于 D2 群，有三个互相垂直的 C2 轴，对称操作是 ܧ ,෠ܥመ ଶ(x), ܥመ ଶ(y), ܥመ ଶ(z). (2)Dnh，n=2, 3, 4, … 属于这种群的分子有一 Cn轴，n 个 C2轴，以及 一个垂直于 Cn 轴的 σh 对称面，如同 Cnh 中那样，Cn 轴也是 Sn 轴．若 n 为偶数,Cn 轴是一个 C2 轴也是一个 S2 轴，所以有一个对称中心．Dnh 分子中还有 n 个竖直的对称面，每个这样的面通过 Cn 轴和一个 C2 轴， 我们现在证明这个论断．建立一个坐标系使 Cn 轴为 z 轴，令 C2 轴之 一为 x 轴（图 4.14）．这使得 xy 平面是 σh 对称面．观察乘积ߪො(xy)ܥመ ଶ(x) 对于一个原来在(x，y，z)的点的效果．有因为ߪො(xy)ܥመ ଶ(x)与ߪො(xz)两者均 将原来在(x, y, z)的点移到最后的位置(x, െy, z)，它们是相等的： ߪො(xy)ܥመ ଶ(x)=ߪො(xz) መܥ ଶ(x)和ߪො(xy)是对称操作，它们的乘积必定是对称操作；所以，z 平面是一个对称面．同样的论证适于任意 C2 轴，所以有们个 σy面．BF3 属于 D3h；PtCl4 2-属于 D4h，苯属于 D6h(图 4.15)． (x, y, z) → (x, െy, െz) → (x, െy, z) 也有 (x, y, z) → (x, െy, z) B F F F Pt Cl Cl Cl Cl 2- H H H H H H σd C2 D3h D4h D6h D3d 图 4.15 有一个 Cn 轴和 n 个 C2 轴的分子 因为ߪො(xy)ܥመ ଶ(x)与ߪො(xz)两者均将原来在(x, y, z)的点移到最后的位置(x, െy, z)，它们是相等的： ߪො(xy)ܥመ ଶ(x)=ߪො(xz) መܥ ଶ(x)和ߪො(xy)是对称操作，它们的乘积必定是对称操作；所以，z 平面是一个对称面．同样的论证适于任意 C2 轴，所以有们个 σy面．BF3 属于 D3h；PtClସ ଶି属于 D4h，苯属于 D6h(图 4.15)． (3)Dnd，n=2, 3, 4, … 分子有一个 Cn轴，n 个 C2轴和 n 个竖直的对称面通过 Cn 轴并平分两相邻的 C2 轴的夹角，属于这种群，n 个竖直的平面叫做等分面，以符号 σd 表之．可以证明，Cn 轴是一个 S2n 轴．乙烷 的参差式构象是 D3d 群的一例(图 4.15 )．[有内旋转的分子的对称性（例如，乙烷）实际上需要特别的讨论， 我们略去．] 4)有多于一个 Cn轴(n>2)的群：Td，T，Th，O，Oh，Ih，I，Kh 这些群与柏拉图体的对称性有关，柏拉图体被全等的正多边形所包围并有全等多面角．有五种这样的 柏拉图体：有四个三角形的四面体，有六个四方形的立方体，有八个三角形的八面体，有十二个五边形的 五边形十二面体，有二十个三角形的二十面体．（五边形十二面体勿与三角形十二面体相混淆：后者有十二 个三角面但不是一个柏拉图体．） (1)Td 一个正四面体的对称操作组成此群．最好的例子是 CH4．CH4 的对称元素是四个 C3 轴（每个 C-H 键），三个 S4轴它们也是 C2 轴（图 4.16），六个对称面，每个这样的面包含两个 CെH 键．(四件事每次取两 件的组合数为 4!/2!2!=6)． 图 4.14 在 Dnh 分子中的二个对称轴 መܥ ଶ(x) ߪො(xy) ߪො(xz) x y z Cn C2