2.1.2数值积分方法的计算稳定性 1.数值积分方法计算稳定性概念 数值积分方法的稳定性与机电系统的稳定性是两个不同的概念。一个稳定的系 统,当用某种数值积分方法进行仿真计算时,若该方法或应用该方法所选参数不适 则会产生意想不到的结果一一仿真结论出错,这就是由于数值积分方法的稳定 性引起的。不同的数值积分方法对应于不同的差分方程,一个数值解是否稳定决定 于该差分方程的特征根是否满足稳定的要求。对于不同的数值积分方法,其稳定性 和约束条件都是仿真过程中的重要参数 考察已知系统,其微分方程为 dy -30y t<1 dt 其精确解为 现在取步长h=0.1,用欧拉法和四阶龙格库塔法计算F=1.5时的y(t)值。 欧拉法y(1.5)=-109225×10 四阶龙格库塔法y(15)=395730×10 精确解y(15)=954173×10 显然此时数值计算结果是错误的。这是因为数值积分法是一种近似积分方法, 它在反复递推计算中将引入误差,若误差积累越来越大,将使计算出现不稳定。所 以原系统稳定与用数值积分法的计算稳定性是不同的概念。对干系统稳定性的讨论, 使用微分方程或传递函数;而后者的稳定性问题需要使用相应的差分方程来讨论 由于对高阶微分方程的数值计算稳定性进行全面的分析十分困难,通常用一简单的 阶微分方程来考察其相应的差分方程的计算稳定性问题。将下述微分方程 dt v(),y(0)=y 称为测试方程。根据稳定性理论,其特征方程的根在S平面的左半部,即根的实部Re λ<0时,原方程稳定。现在以这种条件来讨论数值计算方法的自身稳定性问题32 2．1．2 数值积分方法的计算稳定性 1．数值积分方法计算稳定性概念 数值积分方法的稳定性与机电系统的稳定性是两个不同的概念。一个稳定的系 统，当用某种数值积分方法进行仿真计算时，若该方法或应用该方法所选参数不适 当，则会产生意想不到的结果——仿真结论出错，这就是由于数值积分方法的稳定 性引起的。不同的数值积分方法对应于不同的差分方程，一个数值解是否稳定决定 于该差分方程的特征根是否满足稳定的要求。对于不同的数值积分方法，其稳定性 和约束条件都是仿真过程中的重要参数。 考察已知系统，其微分方程为 y dt dy = −30 (0  t  1.5) ( ) 3 1 y 0 = 其精确解为 ( ) t y t e 30 3 1 − = 现在取步长 h=0.1，用欧拉法和四阶龙格-库塔法计算 t=1.5 时的 y（t）值。 欧拉法 ( ) 4 y 1.5 = −1.0922510 四阶龙格-库塔法 y(1.5) = 3.9573010 精确解 ( ) 21 1 5 9 54173 10− y . = .  显然此时数值计算结果是错误的。这是因为数值积分法是一种近似积分方法， 它在反复递推计算中将引入误差，若误差积累越来越大，将使计算出现不稳定。所 以原系统稳定与用数值积分法的计算稳定性是不同的概念。对干系统稳定性的讨论， 使用微分方程或传递函数；而后者的稳定性问题需要使用相应的差分方程来讨论。 由于对高阶微分方程的数值计算稳定性进行全面的分析十分困难，通常用一简单的 一阶微分方程来考察其相应的差分方程的计算稳定性问题。将下述微分方程 y(t) dt dy =  ， ( ) 0 0 y = y （2-26） 称为测试方程。根据稳定性理论，其特征方程的根在 S 平面的左半部，即根的实部 Re λ＜0 时，原方程稳定。现在以这种条件来讨论数值计算方法的自身稳定性问题