释疑解惑 第一章实数集与函数 §1实数 问题1为什么2001与20009999…示同一实数? 答因为 0.00l= =3×0.0003333… =0.0009999 于是20001与20009999…表示同一实数为了实数的无限十进小数表示的唯一性,约定把2001 表示为20009999… 问题2为什么有理数P(p,q为互质的整数,q≠0)可以表示为无限十进循环小数? 答不妨设有理数P∈(0,1),p(q由实数的阿基米德性可知:存在a1和r,使得 q 10p=a1q+r1,0≤a1≤9,0≤F≤q-1 (注:对10p,q,(i)若10p<q,则a1=0,r=10p;(i)若10p=q,则a1=1,r=0;(i)若10p>q 由实数的阿基米德性,存在正整数a1,0<a1≤9,使得(a1+1)q>10p,a1q≤10p,于是r=10pa1q 于是 p al rI 1010 同样成立 10r1=a2q+r2,0≤a2≤9,0≤r2≤q-1, 于是 02g,0≤ P 1010210 重复以上步骤可得 0r;=a,q+ 10rn1=anq+r,0≤an≤9,0≤rn≤q-1,释疑解惑 第一章 实数集与函数 §1 实数 问题 1 为什么 2.001 与 2.000 999 9…表示同一实数？ 答 因为 0.001= 1000 1 =3× 3000 1 =3×0.000 333 3… =0.000 999 9…， 于是 2.0001 与 2.000 999 9…表示同一实数. 为了实数的无限十进小数表示的唯一性，约定把 2.001 表示为 2.000 999 9…. 问题 2 为什么有理数 q p （p，q 为互质的整数，q≠0）可以表示为无限十进循环小数？ 答 不妨设有理数 q p ∈（0，1），p<q. 由实数的阿基米德性可知：存在 1 a 和 1 r ，使得 10p= 1 a q+ 1 r ，0≤ 1 a ≤9，0≤ 1 r ≤q-1， （注：对 10p，q，（i）若 10p<q，则 1 a =0， 1 r =10p；（ii）若 10p=q，则 1 a =1， 1 r =0；（iii）若 10p>q， 由实数的阿基米德性，存在正整数 1 a ，0< 1 a ≤9，使得（ 1 a +1）q>10p， 1 a q≤10p，于是 1 r =10p- 1 a q.） 于是 q a r q p 10 10 1 1 = + ，0≤ q r 10 1 < 10 1 同样成立 10 1 r = 2 a q+ 2 r ，0≤ 2 a ≤9，0≤ 2 r ≤q-1， 于是 q a r q r 2 2 2 1 2 10 10 10 = + ，0≤ q r 2 2 10 < 2 10 1 ， q a a r q p 2 2 2 1 2 10 10 10 = + + 重复以上步骤可得 10 1 1 p = a q + r 10 1 2 2 r = a q + r ………… （1.1） n n n r = a q + r 10 −1 ，0≤ n a ≤9，0≤ n r ≤q-1