于是有 p aa an+,0≤h< 10q10 这样 P=0 a,a,…a 因为上述各式中的余数rn为{0,1,2,…,q-1}中某数,于是等式组(1.1)从某个n开始重复 即是无限十进循环小数 §2数集·确界原理 问题1非空有界数集S的上确界是否是S中的最大数?下确界是否是S中的最小数?在什么 情况下,非空有界数集的上确保是最大数,下确界是最小数? 答如果一个数集S的最大(小)数存在,则它就是S的上(下)确界,有限数集必有最大(小) 数,故有限数集必有上(下)确界.而无限集S的上(下)确界就不一定是S的最大(小)数.例如 数集 可证 sup S=1, inf S=-1 先证supS=1,注意到n=2k,且n充分大时,(-1) )ym,(+nr1-1 ≤1 (i)V∈>0,当 同理可证infS=1.但是supS,infS关不是S的最大、最小数 若非空有界数集S的上确界supS∈S,则supS是最大数;若S的下确界infS∈S,则infS是最 小数.故对于有界无限数蒋来说,其上(下)确界可以看作最大(小)数的推厂 问题2怎样给出无下界数集和无界数集的正面了陈述? 答无下界集:设数集ScR,若VL,丑x∈S,使得x<L,则称S是无下界集 无界集:设数集ScR,若ⅤM>0,丑x∈S,使得|x>M,则称S是无界集 例如,S=+nrhm=12…}是无下界集这是因为vL,3 比较有界集与无界集的定义,把有界集定义中“彐M>0”换成“VM>0”;“Vx∈S”换成“彐x∈S”于是有 q a a a r q p n n n n 10 10 10 10 2 1 2 = + ++ + ，0≤ q r n n 10 < n 10 1 ， 这样 q p =0. a1a2 an . 因为上述各式中的余数 n r 为{0，1，2，…，q-1}中某数，于是等式组（1.1）从某个 n 开始重复， 即 q p 是无限十进循环小数. §2 数集·确界原理 问题 1 非空有界数集 S 的上确界是否是 S 中的最大数？下确界是否是 S 中的最小数？在什么 情况下，非空有界数集的上确保是最大数，下确界是最小数？ 答 如果一个数集 S 的最大（小）数存在，则它就是 S 的上（下）确界，有限数集必有最大（小） 数，故有限数集必有上（下）确界. 而无限集 S 的上（下）确界就不一定是 S 的最大（小）数. 例如 数集 ( )        =      = − − 1,2 1 1 1 n n S n ， 可证 sup S=1, inf S=-1. 先证 sup S=1，注意到 n=2k，且 n 充分大时，（-1） （i）  n， ( )       − − n n 1 1 1 ≤1； （ii）  >0，当 同理可证 inf S=-1.但是 sup S，inf S 关不是 S 的最大、最小数. 若非空有界数集 S 的上确界 sup S  S，则 sup S 是最大数；若 S 的下确界 inf S  S，则 inf S 是最 小数. 故对于有界无限数蒋来说，其上（下）确界可以看作最大（小）数的推广. 问题 2 怎样给出无下界数集和无界数集的正面了陈述？ 答 无下界集：设数集 S  R，若 L ，x S ，使得 x<L，则称 S 是无下界集. 无界集：设数集 S  R，若 M >0，x S ，使得|x|>M，则称 S 是无界集. 例如，S= ( )  1,2,  1 − = − n n n 是无下界集. 这是因为 L ，n = 比较有界集与无界集的定义，把有界集定义中“ M >0”换成“ M >0”；“ xS ”换成“ x S ”；