不等式“冈≤M”换成“kx>M”,即可得无界集的正面陈述无上界集的含义是任何M都不是数集 的上界.把数学形式的陈述与其直观意义结合在一起理解,有利于掌握否定形式的陈述 问题3怎样给出数不是数集S的上确界的正面陈述? 答若不是数集S的上确界,则或者不是S的上界,或者是S的上界,但不是最小上界 于是数∠不是数集S的上确界的正面陈述为: (i)3x∈S,使得x0);或者 (i)3a0<5,Vx∈S,x≤a §3函数概念 问题1设狄利克雷函数 1,x为有理数, 0,x为无理数, g(x)=-,Nx>1,试问复合函数fg和gf是否存在? 答设有两函数 y=f(u),u∈D,u=g(x),x∈E, 记E*={xg(x)∈D}∩E,若E*≠0,则f与g可以复合成函数 y=f(g(x),x∈E* 1,u为有理数 (1)对f(u) D=R,g(x)=-,k>1,E={x|>1},有E*={xg(x)∈D∩E=E 0,u为无理数 于是f与g可以复合成f”g,其定义域为E (2)对g(u=一,D={uu>1} x为有理数, f(x)= 0,x为无理数 xf(x)∈D;∩E=0 于是g与f不能复合为g°f 问题2等式 arcsin(sinx)=x,x∈R是否正确?若不正确,它与f((x)=x,x∈D(其中f-1 是f的反函数)是否有矛盾? 答x∈R,等式 arcsin(sinx)=是错误的这是因为 arcsin y是反正弦函数的主值,-z iny≤, arcsin(sinx)的值应当取在[ 丌丌 23/k不等式“|x|≤M”换成“|x|>M”，即可得无界集的正面陈述. 无上界集的含义是任何 M 都不是数集 的上界. 把数学形式的陈述与其直观意义结合在一起理解，有利于掌握否定形式的陈述. 问题 3 怎样给出数  不是数集 S 的上确界的正面陈述？ 答 若  不是数集 S 的上确界，则或者  不是 S 的上界，或者  是 S 的上界，但不是最小上界. 于是数  不是数集 S 的上确界的正面陈述为： （i） x0 S ，使得 0 x >  ；或者 （ii）  0 <  ，xS ，x≤  0 . §3 函数概念 问题 1 设狄利克雷函数 1， x 为有理数， f(x)= 0， x 为无理数， g(x)= x 1 ，|x|>1，试问复合函数 fºg 和 gºf 是否存在？ 答 设有两函数 y=f（u），u  D，u=g（x），x  E， 记 E*={x|g(x)  D}∩E，若 E*≠Ø，则 f 与 g 可以复合成函数 y=f(g(x)),x  E*. 1，u 为有理数， （1）对 f（u）= D=R，g(x)= x 1 ，|x|>1，E={x||x|>1}，有 E*={x|g(x)  D}∩E=E ≠Ø， 0， u 为无理数， 于是 f 与 g 可以复合成 fºg，其定义域为 E. （2）对 g(u)= u 1 ，D={u||u|>1}， 1， x 为有理数， f(x)= E=R 0， x 为无理数， E*={x|f(x)  D}∩E=Ø， 于是 g 与 f 不能复合为 gºf. 问题 2 等式 arcsin(sinx)=x， x  R 是否正确？若不正确，它与 f (f (x)) = x −1 ，x  D（其中 −1 f 是 f 的反函数）是否有矛盾？ 答 x R ，等式 arcsin（sin x）=x 是错误的. 这是因为 arcsin y 是反正弦函数的主值， 2  − ≤ arcsiny≤ 2  ，arcsin(sinx)的值应当取在[ 2  − ， 2  ]上. 当