于是 这与f((x)=x,x∈D并不矛盾这是因为定义反函数f时,vy∈f(D),规定D中有且 仅有一个x使得f(x)=y;但现在是vy∈[-,1,有无限多个x∈R,使得sinx=y.如果把x的取值限 制在-x,x ]上,则等式 arcsin(sinx)=x,x∈[ 兀1是正确的。 §4具有某些特性的函数 问题1怎样给出数集D上无上(下)界函数和无界函数的正面陈述? 答在D上无上界函数f(x)的定义如下: M,丑x∈D,使得∫(x0)》M 在D上无下界函数fx)的定义如下: L,Bx0∈D,使得f(x)<L 在D上无界函数f(x)的定义如下: VM>0,3x0∈D,使得f(x0)>M 问题2由§2,习题7可知:若A,B皆为有界数集,则有 sup(A+B)=sup A+ sup B 而本节教材例2中,若f,g为D上的有界函数,则 sup{f(x)+g(x)}≤sup∫(x)+supg(x) (4,2) 而且可能成立严格不等式.上面二式(41)与(42)是否有矛盾?为什么? 答(4.1)与(4.2)并不矛盾,这是因为 {f(x)+g(x)x∈D}c{f(x)x∈D}+{g(x)x∈D},(4.3) 而且在包含关系(43)中左、右两边的集合可能不相等例如,f(x)=x,g(x)=x,D=[0,1,易见 {f(x)+g(x)∈D}={0}, f(x)x∈[0,1}+{g(x)x∈[O,1}=[-1,1], 于是 f(x)+g(xx∈D}E{f(xx∈D}+g(x)xED 出现不等的原因在于数集{f(x)x∈D}+{g(刈x∈D}中x是独立地取自D中.若把(43)式中左、右 两边的数集看作相同而应用(41),将导致错误的结论 问题3试问周期函数的定义域是是否必定是(-∞,+∞)? 答否例如x)=√simx,其周期o=2于是 这与 f (f (x))= x −1 ，x  D 并不矛盾. 这是因为定义反函数 −1 f 时， y  f (D) ，规定 D 中有且 仅有一个 x 使得 f(x) = y；但现在是 y[−1,1] ，有无限多个 x  R，使得 sinx = y. 如果把 x 的取值限 制在[ 2  − ， 2  ]上，则等式 arcsin(sinx) = x，x  [ 2  − ， 2  ]是正确的。 §4 具有某些特性的函数 问题 1 怎样给出数集 D 上无上（下）界函数和无界函数的正面陈述？ 答 在 D 上无上界函数 f(x)的定义如下： M ， x0  D ，使得 ( ) 0 f x >M； 在 D 上无下界函数 f(x)的定义如下： L ， x0  D ，使得 ( ) 0 f x <L； 在 D 上无界函数 f(x)的定义如下： M >0， x0  D ，使得 ( ) 0 f x >M. 问题 2 由§2，习题 7 可知：若 A，B 皆为有界数集，则有 sup（A+B）=sup A + sup B. (4,1) 而本节教材例 2 中，若 f，g 为 D 上的有界函数，则 sup{ f (x) g(x)} x D +  ≤ sup f (x) xD + sup g(x) xD (4,2) 而且可能成立严格不等式. 上面二式（4.1）与（4.2）是否有矛盾？为什么？ 答 （4.1）与（4.2）并不矛盾，这是因为 {f(x)+g(x)|x  D}  {f(x)| x  D }+{g(x)| x  D }, (4.3) 而且在包含关系（4.3）中左、右两边的集合可能不相等. 例如，f(x)=x，g(x)=-x，D=[0，1]，易见 {f(x)+g(x)|x  D}={0}， {f(x)| x  [0,1] }+{g(x)| x  [0,1] }= [-1,1]， 于是 {f(x)+g(x)|x  D}   {f(x)| x  D }+{g(x)| x  D }. 出现不等的原因在于数集{f(x)| x  D }+{g(x)| x  D }中 x 是独立地取自 D 中. 若把（4.3）式中左、右 两边的数集看作相同而应用(4.1)，将导致错误的结论. 问题 3 试问周期函数的定义域是是否必定是（-∞，+∞）？ 答 否.例如 f(x)= sin x ，其周期σ=2