o x2+y2=0 解当x2+y2=0时， fa0)=画f0f0.0=m9=0: Ar 当x2+y2≠0时， 功号+2+2边，4 x2-y2 x2+v22 x+ 所以 4,+0 (x,y)= (x+ 0. x+1y2=0 同理 0 +2=0 于是 人a0=g900=-是- 人00=色00-0-1 Ar 注二元函数的二阶混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关，但混合偏导数不连 续时，二阶混合偏导数与求导次序有关。 例13设：=(x,)= sin ,x2+y2≠0 试讨论 0, x2+y2=0 (1)函数fx,)在(0,0)处是否连续？ (2)偏导数(x,y,了(x,)在(0,0)处是否连续 (3)fx,)在(0,0)处是否可微？ 解(1)因为 心功=+F方细方0(=f+. 即im。fx,)=f0,0),所以函数fx,)在(0,0)点处连续 (2)当(x)≠(0,0)时，例 12 设 2 2 2 2 2 2 2 2 , 0 ( , ) 0, 0 x y xy x y f x y x y x y  −  +  =  +   + = ，求 (0,0), (0,0) xy yx f f ． 解 当 2 2 x y + = 0 时， 0 0 ( ,0) (0,0) 0 0 (0,0) lim lim 0 x x x f x f f  →  → x x  − − = = =   ； 当 2 2 x y +  0 时， 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) 4 ( , ) ( ) ( ) x x y x x y x x y x x y y f x y y xy y x y x y x y − + − − + − = + = + + + ． 所以 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 4 , 0 ( , ) ( ) 0, 0 x x x y y y x y f x y x y x y  + −  +  =  +   + = ； 同理 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 4 , 0 ( , ) ( ) 0, 0 y x x y y x x y f x y x y x y  − −  +  =  +   + = ； 于是 0 0 (0, ) (0,0) (0,0) lim lim 1 x x xy y y f y f y f  →  → y y  − − = = = −   ， 0 0 ( ,0) (0,0) (0,0) lim lim 1 y y yx x x f x f x f  →  → x x  −  = = =   ． 注 二元函数的二阶混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关，但混合偏导数不连 续时，二阶混合偏导数与求导次序有关． 例 13 设 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( )sin , 0 ( , ) 0, 0 x y x y z f x y x y x y  + +   = =  +   + = ，试讨论： （1）函数 f x y ( , ) 在 (0,0) 处是否连续？ （2）偏导数 ( , ), ( , ) x y f x y f x y 在 (0,0) 处是否连续？ （3） f x y ( , ) 在 (0,0) 处是否可微？ 解 （1）因为 2 2 2 2 ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 0 2 2 1 1 lim ( , ) lim ( )sin lim sin 0 ( ) x y x y u f x y x y u u x y x y u → → → = + = = = + + 令 ， 即 ( , ) (0,0) lim ( , ) (0,0) x y f x y f → = ，所以函数 f x y ( , ) 在 (0,0) 点处连续． （2）当 ( , ) (0,0) x y  时