会=0+w户，亭=0+py0+o+0+o 解法2因为2=e+,故 12 年-e10+m+=+wy++0+r 注多元函数对某个自变量求偏导数的基本方法是将其余的自变量视为常数，用一元 函数的求导公式与法则来求导即可. 例10设f任功=2到，求，孕： cos(x+y) 解法1先求偏导函数∫3，再求∫（π，）.由于 2sm(-2y)co)+co()n cos(x+y川 故，π，)=-2反 解法2利用偏导数(x,)即为一元函数fx)在处的导数，f(化%)为 -2，功-22p+e2yny fx,%)在x,处的导数.由于 cos(π+y)cosy (cosy) 故（π，）=-22. (2)=x 解(1)产 侣 1 -2y 等·需{小品 （2)=m, 容-b,装0- 需如小+ 2 1 (1 ) z y y xy x  − = +  ， 1 (1 ) ln(1 ) (1 ) z y y xy xy xy xy y  − = + + + +  ． 解法 2 因为 y xy ln(1 ) z e + = ，故 2 ln(1 ) 2 1 (1 ) 1 z y y xy y e y xy x xy  + − = = +  + ， ln(1 ) 1 [ln(1 ) ] (1 ) ln(1 ) (1 ) 1 z xy y xy y y e xy xy xy xy xy y xy  + − = + + = + + + +  + ． 注 多元函数对某个自变量求偏导数的基本方法是将其余的自变量视为常数， 用一元 函数的求导公式与法则来求导即可． 例 10 设 cos( 2 ) ( , ) cos( ) x y f x y x y − = + ，求 ( , ) 4 y f   ． 解法 1 先求偏导函数 ( , ) y f x y ，再求 ( , ) 4 y f   ．由于 2 2sin( 2 )cos( ) cos( 2 )sin( ) ( , ) [cos( )] y x y x y x y x y f x y x y − + + − + = + 故 ( , ) 2 2 4 y f   = − ． 解法 2 利用偏导数 0 0 ( , ) y f x y 即为一元函数 0 f x y ( , ) 在 0 y 处的导数， 0 0 ( , ) x f x y 为 0 f x y ( , ) 在 0 x 处的导数．由于 cos( 2 ) cos2 ( , ) cos( ) cos y y f y y y    − = = + ， 2 2sin 2 cos cos2 sin ( , ) (cos ) y y y y y f y y  − + = ， 故 ( , ) 2 2 4 y f   = − ． 例 11 求下列函数的二阶偏导数 2 2 z x   ， 2 2 z y   ， 2 z x y    ： （1） arctan x y z x y + = − ； （2） y z x = ． 解 （1） 2 2 2 2 1 2 ( ) 1 z y y x x y x y x y x y  − = = −  − +   + +     − ， 2 2 2 2 1 2 ( ) 1 z x x y x y x y x y x y  = =  − +   + +     − ， 2 2 2 2 2 2 ( ) z xy x x y  =  + ， 2 2 2 2 2 2 ( ) z xy y x y  = −  + ， 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) z y y x x y y x y x y   −   = − =      + +   ． （2） z y 1 yx x  − =  ， ln z y x x y  =  ， 2 2 2 ( 1) z y y y x x  − = −  ， 2 2 2 ln z y x x y  =  ， ( ) 2 1 1 1 ln z y y y yx x yx x x y y   − − − = = +    ．