注易知fx,)=√F+少在点(0,0)处连续，而其偏导数可以不存在，在一元函数中 亦有类似的现象。但是对一元函数有“可导一定连续”的结论，对于多元函数，偏导数存在 并不能保证函数连续，甚至函数可以在该点不存在极限.这是因为偏导数仅刻画了函数沿坐 标轴方向的变化情况，而函数的极限存在或连续则要求沿不同路径变化时函数有相同的极 限，下面以x,)在点（伍，%）处存在偏导数为例进行具体分析.由于 =▣+-心，W=回匹5±匹园 即有 f(x+△x,%)-f（,%)=f(x,%)△r+a,Ar, f6⅓+)-fx0)=x4y+a,4y, 其中im4=0,m%,=0, 由此有 limf(xo+Ax,yo)=f(xo-yo).lim f(xo.yo+Ay)=f(xo.Yo). 这说明：x,)在点（化，）处存在偏导数，只能保证f八x,)在点（化，）处沿x方向和y方 向的连续性，而f(化)在点(，%)处连续，即 m03+A,6+Ay)=f,%), 要求,)在点(，)处沿不同路径均连续，因此偏导数存在不能导出函数连续 例求下列的偏导数会和号 (1)=xy-yx: (2):=√n(: (3)==sin(xy)+cos'(x): (4)Ξ=(1+y 解w会-户，等-可 (2)-1.1y1 11 本2网y2x√nm'2my2Wn (3)年=-[cos(y+24cosg-sin=ycos(o）-ysin2. 同理，克-xo)-sn2. (4)解法1两边取对数得lnz=yln1+y),因此 鉴中 接++y注 易知 2 4 f x y x y ( , ) = + 在点 (0,0) 处连续，而其偏导数可以不存在，在一元函数中 亦有类似的现象．但是对一元函数有“可导一定连续”的结论，对于多元函数，偏导数存在 并不能保证函数连续，甚至函数可以在该点不存在极限．这是因为偏导数仅刻画了函数沿坐 标轴方向的变化情况，而函数的极限存在或连续则要求沿不同路径变化时函数有相同的极 限，下面以 f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处存在偏导数为例进行具体分析．由于 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) lim , x x f x x y f x y f x y  → x +  −  =  0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) y ( , ) lim y f x y y f x y f x y  → y +  −  =  ， 即有 0 0 0 0 0 0 1 ( , ) ( , ) ( , ) x f x x y f x y f x y x x +  − =  +    ， 0 0 0 0 0 0 2 ( , ) ( , ) ( , ) y f x y y f x y f x y y y +  − =  +    ， 其中 1 0 lim 0 x   → = ， 2 0 lim 0 y   → = ， 由此有 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 lim ( , ) ( , ), lim ( , ) ( , ) x y f x x y f x y f x y y f x y  →  → +  = +  = ． 这说明： f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处存在偏导数，只能保证 f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处沿 x 方向和 y 方 向的连续性，而 f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处连续，即 0 0 0 0 ( , ) (0,0) lim ( , ) ( , ) x y f x x y y f x y   → +  +  = ， 要求 f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处沿不同路径均连续，因此偏导数存在不能导出函数连续． 例 9 求下列函数的偏导数 z x   和 z y   ： （1） 3 3 z x y y x = − ； （2） z xy = ln( ) ； （3） 2 z xy xy = + sin( ) cos ( ) ； （4） (1 )y z xy = + ． 解 （1） 2 3 3 z x y y x  = −  ， 3 2 3 z x xy y  = −  ． （2） 1 1 1 2 ln( ) 2 ln( ) z y x xy xy x xy  =   =  ， 1 1 1 2 ln( ) 2 ln( ) z x y xy xy y xy  =   =  ． （3） [cos( )] 2[cos( )] [ sin( )] cos( ) sin(2 ) z xy y xy xy y y xy y xy x  =  +  −  = −  ． 同理， cos( ) sin(2 ) z x xy x xy y  = −  ． （4）解法 1 两边取对数得 ln ln(1 ) z y xy = + ，因此 1 1 z y y z x xy  =  + 1 ln(1 ) 1 z x xy y z y xy  = + +  + 即