1 可见函数：一mm,的图形是有很多“缝”的曲面，其间断点集是纵横交错的直线。 例7求适数化-m0的间断点 0,y=0 解当y≠0时，fx,)=xsin'连续. 对y=0(即x轴)上的点（化0，若60，由于m在川=0而 功=气m时 不存在因此，x)在(，0（≠0）处不存在极限。对于点0,0)，由于 c川sm, 因此，im。x)=0=f0,0),即fx,)在(0,0)处连续.因此，fx,)的间断点的集合 D={x,yy=0,x≠0. 注一切多元初等函数在其定义区域（所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区 域)内均连续，因此不连续点（即间断点）往往出现在分段函数的分界点处。 例8设x,)=√F+少，试讨论该函数在R上偏导数的存在性，在偏导数存在处 求出偏导数. 解当(x)≠(0,0)时， 2y 功+方 当(x)=0,0)时，由于 9000-9兰-1g0/00-四兰- 因此，x,)在点0,0)关于x的偏导数不存在，而 -0”,00=5=0, 即fx,)在点(0,0)关于y的偏导数存在，且？0,0)=0.故 「23 不存在，Gx,y)=0,0) 0, (x,y）=0,0) 可见函数 1 sin sin z x y = 的图形是有很多“缝”的曲面，其间断点集是纵横交错的直线． 例 7 求函数 1 sin , 0 ( , ) 0, 0 x y f x y y y    =    = 的间断点． 解 当 y  0 时， 1 f x y x ( , ) sin y = 连续． 对 y = 0 （即 x 轴）上的点 0 ( ,0) x ，若 0 x  0 ，由于 0 0 lim ( , ) 0, x x y f x y → = = 而 0 0 0 0 1 lim ( , ) lim sin y y x x f x y x → → y = = 不存在．因此， f x y ( , ) 在 0 0 ( ,0)( 0) x x  处不存在极限．对于点 (0,0) ，由于 1 f x y x x ( , ) sin y   ， 因此 ( , ) (0,0) lim ( , ) 0 (0,0) x y f x y f → = = ，即 f x y ( , ) 在 (0,0) 处连续．因此， f x y ( , ) 的间断点的集合 是 D x y y x = =  {( , ) 0, 0}. 注 一切多元初等函数在其定义区域（所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区 域）内均连续，因此不连续点（即间断点）往往出现在分段函数的分界点处． 例 8 设 2 4 f x y x y ( , ) = + ，试讨论该函数在 2 R 上偏导数的存在性，在偏导数存在处 求出偏导数． 解 当 ( , ) (0,0) x y  时， 2 4 ( , ) x x f x y x y  = + ， 3 2 4 2 ( , ) y y f x y x y  = + ． 当 ( , ) (0,0) x y = 时，由于 0 0 ( ,0) (0,0) lim lim 1, x x f x f x x x → → + + − = = 0 0 ( ,0) (0,0) lim lim 1 x x f x f x x x → → − − − = = − ． 因此， f x y ( , ) 在点 (0,0) 关于 x 的偏导数不存在，而 2 0 0 (0, ) (0,0) lim lim 0 y y f y f y → → y y − = = ， 即 f x y ( , ) 在点 (0,0) 关于 y 的偏导数存在，且 (0,0) 0 y f  = ．故 2 4 , (0,0) ( , ) , (0,0) x x x y f x y x y x y     =  +   ，( ) 不存在， ( )= ， 3 2 4 2 , (0,0) ( , ) , (0,0) y y x y f x y x y x y     =  +   = ，( ) 0， ( ) ．